Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im HH\rm H-Atom zu finden

Question

Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im HH\rm H-Atom zu finden

71GA

In dem Buch Arthur Beiser - Konzepte der modernen Physik [Seite 213] trennt der Autor die Variablen in der polaren Schrödinger-Gleichung unter der Annahme:

ψ_{N l M} = R (R) Φ (ϕ) Θ (θ)

$\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$

dann gibt es eine Aussage, dass das Raumdifferential im Polarkoordinatensystem ist:

D v = (D R) \cdot (D θ R) \cdot (R Sünde θ D ϕ)

$dV=(dr)\cdot (d\theta r)\cdot (r\sin\theta d\phi)$

Ich verstehe das, aber auf der nächsten Seite steht eine Aussage:

Als $\Phi$ Und $\Theta$ sind normalisierte Funktionen, die tatsächliche Wahrscheinlichkeit $P(r)dr$ das Elektron in einem Wasserstoffatom irgendwo in der Kugelschale dazwischen zu finden $r$ Und $r+dr$ aus dem Kern ist:
$P (R) D R = R^{2} | R (R) |^{2} D R \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} Sünde θ D θ \int_{0}^{2 π} | Φ |^{2} D ϕ = R^{2} | R (R) |^{2} D R .$ $P(r)dr=r^2|R(r)|^2dr\,\int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2\sin\theta d\theta \, \int\limits_{0}^{2\pi}|\Phi|^2 d\phi=r^2|R(r)|^2dr.$

In dieser Gleichung kann ich das oben beschriebene Volumendifferential und die Wellenfunktion erkennen $\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$ . Ich weiß auch, dass die Normalisierung der Winkelfunktionen über die Winkel 1 zurückgibt, aber ich verstehe nicht, warum es keine Integration des radialen Teils gibt ... Kann jemand ein bisschen erklären?

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Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im HH\rm H-Atom zu finden

Mostafa · Answer 1

Mostafa

Es gibt keine Integration des radialen Teils, weil wir, wie Sie selbst sagten, die Wahrscheinlichkeit wollen, das Elektron irgendwo in der Kugelschale dazwischen zu finden $r$ Und $r+dr$ aus dem Kern. (in einer Differentialhülle zwischen $r$ Und $r+dr$ , und keine Notwendigkeit, über zu integrieren $r$ .)

71GA

Vielen Dank. Wenn wir also mit einem Bruchteil einer Wahrscheinlichkeit zufrieden sind, brauchen wir nicht zu integrieren :) Was mich verwirrte, war das Gefühl, dass wir, wenn wir die Gleichung integrieren wollen, es auf beiden Seiten tun müssen und nicht nur auf einer Seite ... Es ist seltsam für mich, dass wir nur einen Teil der Gleichung integrieren.

71GA

Dazu habe ich noch eine Frage. Warum haben wir bei der Suche nach das Volumendifferenzial verwendet?

P (r) d r

$P(r)dr$

71GA

Egal ich glaube ich verstehe :)

Mostafa

Wenn Sie suchen

P (r) d r

$P(r)dr$ du musst finden

P (r)

$P(r)$ zuerst (ab

P (r, θ, ϕ)

$P(r,\theta,\phi)$ ) .

71GA

Wie mache ich das?

Mostafa

Integrieren Sie vorbei

θ

$\theta$ Und

ϕ

$\phi$ , wie Sie es in der Frage getan haben.

71GA

Ich weiß, wenn ich die volle Wahrscheinlichkeit erhalten möchte, muss ich berechnen:

P = \int_{v} | R (R) |^{2} | Φ (ϕ) |^{2} | Θ (θ) |^{2} D v = \int_{v} | R (R) |^{2} | Φ (ϕ) |^{2} | Θ (θ) |^{2} R^{2} D R D θ Sünde θ D ϕ = = \int_{0}^{\infty} R^{2} | R (R) |^{2} D R \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} Sünde θ D θ \int_{0}^{2 π} D ϕ

$P=\int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2dV = \int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2\,\,r^2dr\, d\theta \sin\theta d\phi=\\ =\int\limits_{0}^{\infty}r^2|R(r)|^2dr \int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2 \sin\theta d\theta \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi$ Ich hoffe, ich habe das richtig geschrieben und ich denke, dass dieses volle Integral gleich 1 sein sollte. Aber irgendwie ist mir immer noch nicht klar, wie ich das bekomme

P (r) d r

$P(r)dr$ ... Wie kann ich das deuten

d r

$dr$ nach dem

P (r)

$P(r)$ . Woran denken Sie, wenn Sie so etwas sehen?

71GA

Das ist also die volle Wahrscheinlichkeit... Was wäre, wenn ich gesucht hätte

P d θ

$P d\theta$ ? Müsste ich die einfach entfernen

\int_{0}^{π}

$\int\limits_{0}^{\pi}$ ?

pfnüssel · Answer 2

$P(r)\,\text dr$ gibt Ihnen nur die Wahrscheinlichkeit in einer infinitesimalen Kugelschale um den Mittelpunkt. Die Integration, die Sie erwarten, wird durchgeführt, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit in einer nicht unendlich kleinen Hülle um das Zentrum wissen möchten.

Sie möchten zum Beispiel wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Elektron dazwischen zu finden $r=1$ Und $r=2$ (in welchen Koordinaten auch immer) würden Sie integrieren

P (1 < R < 2) = \int_{1}^{2} P (R) D R

$P(1<r<2) = \int_1^2 P(r)\,\text dr$ .

Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im HH\rm H-Atom zu finden

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Mostafa

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pfnüssel

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