Wie entscheiden wir, ob ein Elektronenorbital mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null oder Null im Kern eines Wasserstoffatoms liegt?

In diesem Link sehen Sie die radialen Wasserstoffwellenfunktionen. Nur die l=0-Zustände, S-Zustände, haben bei r=0 einen von Null verschiedenen Wert .

Die anderen Drehimpulszustände haben einen sehr kleinen Beitrag zu den Wahrscheinlichkeiten von r>0 bis r=1 Fermi (dem geladenen Radius des Protons), da 1 Fermi in der Größenordnung von 10^-15 Metern liegt und die Wahrscheinlichkeit das Quadrat der Welle ist Funktion.

Aus energetischen Gründen passiert nichts, wenn sie sich überlappen: Es gibt kein Energieniveau innerhalb des Protons, um einen Übergang in einen anderen Zustand zu ermöglichen, und das Neutron ist viel schwerer als das Proton. Wie auch immer, um dorthin zu gelangen, wird die schwache Wechselwirkung benötigt, was der Grund dafür ist, dass der Elektroneneinfang in Kernen dort, wo die Energie es zulässt, sehr gering ist.

Man berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron im Kern befindet, indem man integriert$\psi^*\psi$über das Kernvolumen.

Beispielsweise ist der radiale Teil der Wasserstoff-Grundzustandswellenfunktion$\psi=\frac{e^{-\frac{r}{a_0}}}{\sqrt{\pi a_0^3}}$,

also ist das Integral$\frac{1}{\pi a_0^3}\int_0^b e^{-2r/a_0} 4\pi r^2 dr$.

In obigem,$a_0$ist der Bohr-Radius und$b$ist der Protonenradius. Das Integral ist einfach genug, aber es gibt einen Trick, der Ihnen gefallen könnte. Da der Protonenradius so klein ist (~1 fm) im Vergleich zum Bohr-Radius (~53000 fm), ist der Exponentialterm praktisch eine Konstante ($\approx 1$) über den gesamten Kern, also einfach ignorieren! In dieser Näherung ergibt sich das Integral zu$\frac{4b^3}{3a_0^3}$, was eine ziemlich kleine Wahrscheinlichkeit ist, aber ist sie wirklich nicht null?

Eine Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeit zu betrachten, ist, wie oft das Ereignis eintritt. Wenn wir ein Experiment durchführen könnten, um das Elektron einmal pro Sekunde zu lokalisieren, würden wir es etwa alle 5 Millionen Jahre einmal im Kern finden. Man kann also mit Sicherheit sagen, dass Sie oder ich es nie erleben werden, also ist die Wahrscheinlichkeit für alle praktischen Zwecke null .