Kann ein quasiklassisches Elektronenwellenpaket auf einer Ellipsenbahn aus gebundenen wasserstoffähnlichen Eigenzuständen gebildet werden?

_{Achtung : Langer Beitrag voraus. Um einfach eine Animation anzusehen, scrollen Sie nach unten ;)}

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Anforderungen an das Wellenpaket

Lassen Sie uns zunächst einige Schätzungen durchführen, indem wir den genauen analytischen Ausdruck für die Entwicklung eines Gaußschen Wellenpakets im freien Raum verwenden. Hoffentlich ist es nicht zu falsch, wenn das Coulomb-Potential eingeschaltet ist. Der Ausdruck sieht so aus:

$$\operatorname{gaussian}(x,t)=\sqrt{\frac{\sigma_0}{\sqrt{2\pi}}\bigg/\left(\sigma_0^2+\frac{i\hbar t}{2m}\right)} \exp\left(-\sigma_0^2\left(\frac p\hbar\right)^2\right) \exp\left(-\frac{\left(x-2i\sigma_0^2\frac p\hbar\right)^2}{4\left(\sigma_0^2+\frac{i\hbar t}{2m}\right)}\right). \tag1$$

Daraus können wir den erwarteten Wert von ermitteln$x$Änderungen in der Zeit als

$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\operatorname{gaussian}(x,t)\right|^2 x\,\mathrm{d}t=\frac{pt}m, \tag2$$

während Standardabweichung$\sigma$der Position entwickelt sich als

$$\sigma(t)=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=\sqrt{\sigma_0^2+\frac{t^2\hbar^2}{4m^2\sigma_0^2}}. \tag3$$

Wir benötigen das nach zwei Umlaufzeiten,$\sigma$wird nicht mehr als 2 mal größer als ursprünglich, dh

$$\sigma(2T)\le2\sigma_0. \tag4$$

Betrachten wir die Bewegung eines klassischen Teilchens im Coulomb-Feld

$$V(r)=-\frac\alpha r, \tag5$$

Wo$\alpha=\frac{-Qq}{4\pi\varepsilon_0}$Und$Qq$Produkt der Ladungen des anziehenden Zentrums und des sich bewegenden Teilchens ist, dann ist die Umlaufzeit$^\dagger$

$$T=2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac m\alpha}, \tag6$$

Wo$a$ist die große Halbachse der Ellipsenbahn.

Also Ungleichheit lösen$(4)$, wir bekommen:

$$\sigma_0\ge\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\sqrt{3\alpha m}}}a^{3/4}. \tag7$$

Damit haben wir die untere Schranke an$\sigma_0$um die Ausbreitungsgeschwindigkeit unseres Wellenpakets zu begrenzen. Wir möchten aber auch, dass das Wellenpaket ausreichend lokalisiert ist, damit es leicht visuell vom Kern getrennt werden kann. Das werden wir verlangen

$$\sigma_0\le a/20, \tag8$$

und dann nehmen$\sigma_0$so niedrig wie möglich zu sein$(7)$, wir haben unsere untere Grenze auf$a$:

$$a\ge\frac{(800\pi\hbar)^2}{3\alpha m}. \tag9$$

Explizites Beispiel für Arbeitsparameter

OK, gehen wir jetzt numerisch vor. Basierend auf der obigen Schätzung werden wir einige Parameter für die Bahn des Elektrons auswählen und "experimentell" prüfen, ob die Schätzungen etwas Gutes ergeben.

Im Allgemeinen haben wir für ein wasserstoffähnliches System$Qq=-Ze^2$, Wo$Z$ist die Ordnungszahl des Kerns. Einfügen von Zahlen in$(9)$, wir sehen das

$$a>Z^{-1}\times 111.4\,\mathrm{\mu m}. \tag{10}$$

Um Berechnungen praktischer zu machen, möchten wir einen möglicherweise kleineren Wert von$a$, so dass unsere Eigenfunktionen weniger Oszillationen hätten. Nehmen wir dann Einsteinium$^\ddagger$als Kern, damit$Z=99$, und nehmen wir den kleinstmöglichen Wert (ein Bruchteil eines Prozents kleiner, für schönere Zahlen):

$$a=1.12\,\mathrm{\mu m}. \tag{11}$$

Lassen Sie uns nun einige weitere Werte definieren. Wir wählen die kleine Halbachse$b$der Umlaufbahn, um einen vernünftigen Wert zu haben - so dass sie offensichtlich nicht kreisförmig ist, aber das Perizentrum nicht zu klein macht:

$$b=\frac34a=0.84\,\mathrm{\mu m}. \tag{12}$$

Dann haben wir einen mittleren Drehimpuls$M$definiert von

$$M=b\sqrt{-2mE}=1.145\times10^{-31}\,\mathrm{J\cdot s}=1086\hbar, \tag{13}$$

Wo$E$ist die Gesamtenergie (die negativ ist, da wir an einem gebundenen Zustand interessiert sind). Es wird von gegeben

$$E=\frac{-\alpha}{2a}=-1.02\times10^{-20}\,\mathrm{J}=-0.063\,\mathrm{eV}. \tag{14}$$

Von der Gleichberechtigung

$$E_n=-\frac{Z^2me^4}{8(2\pi\hbar)^2\varepsilon_0^2n^2} \tag{15}$$

wir können diesen Durchschnittswert der Hauptquantenzahl sehen$n$Ist

$$\langle n\rangle=1447.5. \tag{16}$$

Wir werden die anfängliche durchschnittliche Entfernung des Elektrons vom Kern zum Apozentrum der Umlaufbahn festlegen:

$$r_0=a\left(1+\sqrt{1+\frac{2EM^2}{m\alpha^2}}\right)=1.86\,\mathrm{\mu m}. \tag{17}$$

Zur Vereinfachung der Berechnung von Projektionen unseres anfänglichen Wellenpakets auf Eigenzustände stellen wir es als Produkt von drei Funktionen dar:

$$\psi_0(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi), \tag{18}$$

wo diese Funktionen definiert sind als

$$\begin{align} \Phi(\phi)&=\exp\left(-\frac{(r_0(\phi-\pi))^2}{4\sigma_0^2}\right)\exp\left(i\frac M\hbar \phi\right), \tag{19}\\ \Theta(\theta)&=\exp\left(-\frac{(r_0(\theta-\pi/2))^2}{4\sigma_0^2}\right), \tag{20}\\ R(r)&=\exp\left(-\frac{(r-r_0)^2}{4\sigma_0^2}\right). \tag{21} \end{align}$$

Mit diesen Definitionen, der Umlaufbahn und der$3\sigma_0$Der Kreis des anfänglichen Wellenpakets sieht folgendermaßen aus:

Praktische Berechnungen

Im Prinzip reichen die oben aufgeführten Parameter aus, um das gewünschte Wellenpaket zu konstruieren. Aber wenn wir keinen superschnellen Computer haben, möchten wir vielleicht einige Vereinfachungen an den Berechnungen vornehmen.

Für$\Phi$es ist trivial, Projektionen zu finden$\Phi_m$zu Eigenzuständen: Es ist nur eine Fourier-Transformation, und da unser Wellenpaket im Winkelraum sehr lokalisiert ist, können wir sogar darüber integrieren$\phi\in(-\infty,\infty)$Der Einfachheit halber kommen Ergebnisse sehr nahe an die Integration heran$\phi\in[0,2\pi]$. Das Ergebnis wird also sein

$$\Phi_m= \int\limits_0^{2\pi} \Phi(\phi)e^{-im\phi}\,\mathrm d\phi\approx \int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\phi)e^{-im\phi}\,\mathrm d\phi=\\ =\frac{2\sqrt\pi\sigma_0}{r_0}\exp\left(\frac{(m-M/\hbar)((M/\hbar-m)\sigma_0^2-i\pi r_0^2)}{r_0^2}\right). \tag{22}$$

Für unsere gewählten Werte reicht es aus, die Projektionen mit zu verwenden$m=1000,...,1170$, so dass der Mindestwert der Projektion ist$\sim10^{-4}$(maximal ist$\sim0.1$).

Für$\Theta$Projektionen zu finden ist nicht so trivial, und ich musste auf numerische Integration zurückgreifen. Das Integral ist

$$\Theta_{l,m}=\int\limits_0^\pi \Theta(\theta)Y_l^m(\theta,0)\sin(\theta)\,\mathrm d\theta, \tag{23}$$

Wo$Y_l^m(\theta,\phi)$ist die sphärische harmonische Funktion. Glücklicherweise müssen wir aufgrund der Natur von sphärischen Harmonischen mit hohem Winkelimpuls nur verwenden$l=m,...,(m+7)$. Außerdem wann$l+m$ungerade ist, verschwindet das Integral, was die Rechnung etwas erleichtert.

Für$R$Projektionen direkt zu finden, ist das numerisch schwierigste Problem. Das Integral ist

$$R_{n,l}=\int\limits_0^\infty R(r)F_{n,l}(r)r^2\,\mathrm dr, \tag{24}$$

Wo$F_{n,l}$ist die radiale Eigenfunktion eines wasserstoffähnlichen Systems:

$$F_{n,l}(\rho)=\left(\frac{a_B}Z\right)^{-3/2}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{(n+l)!}}e^{-\frac rn}\left(\frac{2r}n\right)^l\frac2{n^2}L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}n\right), \tag{25}$$

wo wir bezeichnet haben$r=\frac{Z\rho}{a_B}$, Und$a_B$ist der Bohr-Radius . Laguerre-Funktion$L_n^a$wird in der Notation angegeben, die in der GNU Scientific Library und in Wolfram Mathematica verwendet wird .

Trotz der Härte der Berechnungen von$R_{n,l}$, können wir es mit der folgenden Formel für den Fall zufriedenstellend anpassen$l=m_{\mathrm{min}}=1000$:

$$R_{n,1000}\approx(-1)^{n+l+1}\exp\left(-154.84 - 0.92643 n + 0.00149354 n^2 - 5.46295\times 10^{-7} n^3\right). \tag{26}$$

Maximal von$R_{n,l}$als Funktion von$n$stimmt ungefähr mit dem Fall überein, wenn$F_{n,l}(r)$hat einen weiteren Wendepunkt an$r=r_0$. Also zu finden$R_{n,l}$für andere Werte von$l$, können wir sein Maximum einfach um die Differenz zwischen den Werten von verschieben$n$entsprechend den weiter entfernten Wendepunkten, die gleich sind$r_0$für die Eigenzustände$F_{n,l}(r)$. Die Wendepunkte können der Gleichung entnommen werden

$$-\frac\alpha {r_0}+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr_0^2}=-\frac{Z^2me^4}{8(2\pi\hbar)^2\varepsilon_0^2n^2}. \tag{27}$$

Berechnungen zeigen, dass für zufriedenstellende Genauigkeit wir nehmen können$n=1300,...,1600$.

Ergebnisse

Nach den oben beschriebenen Berechnungen erhalten wir eine endliche Entwicklung unseres Wellenpakets in wasserstoffähnliche Eigenfunktionen:

$$\operatorname{packet}(r,\theta,\phi,t)=\sum\limits_{m=1000}^{1170}e^{im\phi}\Phi_m\sum\limits_{l=m}^{m+7}Y_{l,m}(\theta,0)\Theta_{l,m}\sum\limits_{n=1300}^{1600}R_{n,l}F_{n,l}(r)\exp\left(-i\frac E\hbar t\right). \tag{28}$$

So sieht die Wellenpaketentwicklung für das Stück aus$\theta=\frac\pi2$für$t\in[0,0.95T]$(eine längere Version kann hier heruntergeladen werden , 50,3 MiB):

Wir können sehen, dass unsere Schätzungen etwas daneben lagen: Das Wellenpaket scheint sich nicht so stark in radialer Richtung auszubreiten. Aber es ist in der Tat eine gute Nachricht.

Bemerkenswert ist auch die sehr ausgeprägte Ausbreitung des Wellenpakets aufgrund der Unsicherheit der radialen Position im Apozentrum, die mit zunehmender Zeit größer wird (sichtbar in der längeren Animation). Aber das ist ein ganz klassischer Effekt. Wenn wir mehrere klassische Partikel entlang der$x$Achse, mit dem gleichen Drehimpuls, der gleichen Masse und Ladung wie für unser Elektron, und sie sich bewegen lassen (unter Vernachlässigung der Wechselwirkung zwischen ihnen), sehen wir die gleiche Streuung ihrer Positionen. Hier ist eine Animation von zehn solchen Partikeln, die dem Wellenpaket überlagert sind:

Am Ende der 4. Umlaufperiode (siehe die längste oben verlinkte Animation) breitet sich das Paket so weit aus, dass sein "Kopf" beginnt, mit seinem "Schwanz" zu interferieren, und im weiteren Verlauf beginnt es, sich ständig selbst zu stören.

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_{$^\dagger$Für Ableitungen von Formeln, die die Bahnbewegung beschreiben, siehe z. B. Landau & Lifshitz, „ Mechanics “,$\S15$Keplers Problem.
$^\ddagger$Weil es der schwerste Kern ist, der in makroskopischen Mengen erhältlich ist.}