Warum dürfen S-State-Lösungen der Dirac-Gleichung für Wasserstoffatome unbegrenzt sein?

Auf dieser Wikipedia-Seite gibt es eine Aussage über das 1S-Orbital, wie es aus der Dirac-Gleichung gelöst wurde:

Beachten Sie, dass γ ist etwas weniger als 1 , also ist die obere Funktion einer exponentiell abnehmenden Funktion von ähnlich R außer dass bei sehr klein R es geht theoretisch bis unendlich (aber dieses Verhalten tritt bei einem Wert von auf R kleiner als der Radius eines Protons!).

Zum Vergleich: Beim Lösen des radialen Teils der Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff streben wir ausdrücklich danach, Lösungen zu vermeiden, die am singulären Potentialpunkt singulär sind.

In der Dirac-Gleichung scheint die einzige Rechtfertigung für das Zulassen einer unbegrenzten Lösung eine physikalische und keine mathematische zu sein. Es sieht sehr unvereinbar mit dem aus, was ich beim Lösen verschiedener Probleme mit der Schrödinger-Gleichung gesehen habe.

Warum darf die Lösung der Dirac-Gleichung also unbegrenzt sein? Was sind die Rand- und Glattheitsbedingungen der Wellenfunktion?

Ich vermute, dass die Dirac-Gleichung einfach keine S-Zustände mit begrenzter Wellenfunktion im Coulomb-Potential zulässt. Kann nun gezeigt werden, dass, wenn wir von einem kugelsymmetrischen Wellenpaket mit einer Nullstelle in seinem Zentrum ausgehen, seine Entwicklung im Coulomb-Feld unweigerlich zur Bildung eines ähnlichen führt R γ − 1 Singularität?

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Antworten (2)

Die ganze Idee, beim Lösen eines physikalischen Problems immer nach einer nicht-singulären Lösung einer PDE zu suchen, ist fehlerhaft. Es gibt legitime Fälle, in denen eine singuläre Lösung die Gleichung löst und alle ursprünglich auferlegten Randbedingungen erfüllt – und – auch das physikalische Problem löst.

Ebenso reicht die in Achmetelis Antwort erwähnte Bedingung der quadratischen Integrierbarkeit der Wellenfunktion nicht aus, um zB ein diskretes Energiespektrum eines gebundenen Teilchens zu erhalten. Betrachten Sie zB die sphärische/zylindrische Neumann-Funktion als Lösung der radialen Gleichung für ein Teilchen in einem sphärischen/zylindrischen Kasten mit konstantem Potential im Inneren. Eine solche Lösung ist quadratisch integrierbar mit entsprechendem Jacobi, führt aber eindeutig zu einem kontinuierlichen Energiespektrum, wenn wir es als Lösung eines solchen Problems betrachten.

Was wir suchen sollten , ist die Lösung, die die PDE als Distribution löst . Es muss nämlich alle Verteilungssingularitäten wie Dirac-Delta berücksichtigen, die entstehen, wenn der Differentialoperator darauf angewendet wird. Betrachten Sie als Beispiel eine sphärische Neumann-Funktion als Kandidatenlösung für das oben erwähnte Problem für den S-Zustand. Es hat folgende Serienerweiterung:

j 0 ( R ) = − 1 R + R 2 − R 3 24 + ⋯ .

Es ist leicht zu erkennen, dass es normalisierbar ist, wenn es in die Radiusbox integriert ist R , seit dem Jacobi R 2 storniert die 1 R 2 Begriff ein j 0 ( R ) 2 . Aber diese Funktion hat ein ernsthaftes Problem: Die Anwendung des kinetischen Energieoperators darauf ergibt ein Dirac-Delta, das durch nichts in der Gleichung kompensiert wird. Es wird offensichtlich, wenn man das bedenkt 1 R ist (bis auf einen konstanten Faktor) eine Lösung der Poisson-Gleichung für Punktladung. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dies zu überprüfen

lim ε → 0 ∫ R 3 ∇ 2 ( 1 R 2 + ε 2 ) D v ≠ 0 ,

unter Hinweis auf die Definition der Dirac-Delta-Verteilung.

Zusammenfassend: Die Prämisse der Frage ist falsch: Wir versuchen nicht, eine singuläre Lösung für Schrödingers oder andere ähnliche Gleichungen zu vermeiden – wir versuchen sicherzustellen, dass unsere Lösung unsere Gleichung im Sinne einer Verteilung löst und keine verstreuten Verteilungssingularitäten hinterlässt. Daher ist es völlig in Ordnung, Lösungen der Dirac-Gleichung unbeschränkt zuzulassen, vorausgesetzt, sie lösen sie genau als Verteilungen.

Ich würde sagen, die Lösung des gebundenen Zustands sollte nahe der Mitte eine integrierbare Wahrscheinlichkeitsdichte haben, welche Bedingung gilt (ein Faktor von R 2 erscheint, wenn man in die Kugelkoordinaten integriert), obwohl die Wellenfunktion (und die Wahrscheinlichkeitsdichte) tatsächlich singulär ist. Diese Bedingung wird auf Seite 20 des Artikels verwendet, auf den sich @LewisMiller in einem Kommentar bezieht ("Schrödinger- und Dirac-Gleichungen für das Wasserstoffatom und Laguerre-Polynome").

Diese Bedingung scheint für Schrödingers Wasserstoff nicht zu genügen: dort können wir auch bei Nicht-Eigenenergien eine integrierbare Wahrscheinlichkeitsdichte haben, da die Singularität am Ursprung auch leicht durch aufgehoben wird R 2 Gewicht. Dies ist der Kern meiner Frage: Was ist in der Dirac-Gleichung so anders, dass diese Bedingung der Integrierbarkeit anstelle der Regularität gilt?
@Ruslan: Könnten Sie eine Referenz geben?
Ich habe keine Referenz, aber Sie können sehen, wie ich zu dem Kommentar gekommen bin. Wenn Sie zunächst die radiale Schrödinger-Gleichung lösen, erhalten Sie zwei Terme mit konfluenten hypergeometrischen Kummer- und Tricomi-Funktionen: einen Term mit 1 F 1 , die im Allgemeinen im Unendlichen unbegrenzt, aber am Ursprung begrenzt ist, und eine andere mit U , die im Unendlichen verschwindet, aber im Ursprung unbegrenzt ist. Bei Nicht-Ganzzahl N der zweite Term hat eine Reihenerweiterung mit führenden Termen von C + A / R + B Protokoll ⁡ R (siehe zB W|A ), die integrierbar sind.
@Ruslan: Sieht so aus, als ob Sie einige Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung in Betracht ziehen, also haben sie eine bestimmte Energie. Was meinst du mit "Nicht-Eigenenergien"?
Ja, ich betrachte die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Nicht-Eigenenergien sind jene Koeffizienten für den radialen Hamilton-Operator, die anstelle von Eigenwerten in der rechten Seite der Gleichung stehen, aber keinem tatsächlichen Eigenwert entsprechen – dh wenn wir sagen H R F ( R ) = − N − 2 F ( R ) , dann betrachte ich den Fall N ∉ N . Dies ist der Fall, wenn F erfüllt nicht die Randbedingungen der Begrenztheit .
@Ruslan: Es sieht also so aus, als wäre dies Ihre eigene Definition von "Nicht-Eigenenergie". Wenn Sie eine normalisierbare Lösung haben (auch wenn sie unbeschränkt ist), was ist mit der relevanten Energie falsch? (Ich weiß nicht, vielleicht ist diese Energie nicht negativ, aber das bedeutet nicht, dass sie nicht physisch ist).
Angenommen, Sie setzen eine nicht ganzzahlige Hauptquantenzahl in die Bohrsche Formel für Wasserstoffenergien ein. Sie erhalten den Wert, den ich "Nicht-Eigenenergie" nenne. Aber man kann mit dieser Energie immer noch eine Wellenfunktion finden, die, obwohl sie am Ursprung singulär ist, normalisierbar ist.
@Ruslan: Vielleicht ist also an dieser Wellenfunktion und dieser Energie nichts auszusetzen? Warum ist es "nicht eigen"?
Warum dürfen S-State-Lösungen der Dirac-Gleichung für Wasserstoffatome unbegrenzt sein?
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