Was ist über das Wasserstoffatom in ddd-Raumdimensionen bekannt?

Eine schöne Übersicht über das Problem findet sich in arXiv:1205.3740 . Die wichtigsten Punkte fasse ich hier zusammen.

Lassen$d$sei die Anzahl der Raumdimensionen. Dann ist der Laplace-Operator gegeben durch

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Delta_S\tag{1}$$ wo $\Delta_S$ist der Laplace-Operator auf der $d-1$Kugel.

Das Coulomb-Potential ist durch die Lösung von gegeben

$$-\Delta V=e\delta(\boldsymbol r)\tag{2}$$ was gelöst wird durch $$V(r)=\frac{2(d/2-1)!}{(d-2)\pi^{(d-2)/2}}\frac{e}{r^{d-2}}\tag{3}$$

Eine Möglichkeit, den obigen Ausdruck zu zeigen, besteht darin, das Gaußsche Gesetz in zu betrachten$d$Dimensionen, das heißt$E(r)=e/\int_r\mathrm ds$wo der Bereich der$d-1$Kugel finden Sie hier .

Damit lautet die Schrödinger-Gleichung

$$\left[\frac{1}{2m}(-\Delta)+V(r)-E\right]\psi(\boldsymbol r)=0\tag{4}$$

Das Problem hat Kugelsymmetrie, so dass wir wie üblich schreiben können

$$\psi(r,\boldsymbol \theta)=\frac{1}{r^{(d-1)/2}}u(r)Y_\ell(\boldsymbol\theta)\tag{5}$$ wo $\boldsymbol \theta=(\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{d-2})$und die Macht $(d-1)/2$von $r$wird gewählt, um den linearen Term in zu entfernen $(1)$. Die supersphärischen Harmonischen ( $\sim$ Gegenbauer-Polynome ) stellen die Verallgemeinerung der üblichen Kugelflächenfunktionen dar $d$Maße: $$\Delta_S Y_\ell+\ell(\ell+d-2)Y_\ell=0\tag{6}$$

Verwenden Sie dieses Formular für$\psi$, wird die Schrödinger-Gleichung

$$u''(r)+2m[E-V_\ell(r)]u(r)=0\tag{7}$$ wo das effektive Potenzial liegt $$V_\ell=V(r)+\frac{1}{2m}\frac{\ell_d(\ell_d+1)}{r^2}\tag{8}$$ mit $\ell_d=\ell+(d-3)/2$.

Nun hat dieses Eigenwertproblem keine bekannte analytische Lösung, so dass wir auf numerische Methoden zurückgreifen müssen. Die Zahlenwerte der Energien findest du im arxiv-Artikel. Ein wichtiger Punkt, der in diesem Artikel angesprochen wird, ist, dass es keine negativen Eigenwerte für gibt$d\ge 4$, das heißt, es gibt keine gebundenen Zustände in mehr als drei Dimensionen. Aber für$d\ge 5$Es gibt stabile Umlaufbahnen mit positiver Energie und gut benommenen Wellenfunktionen.

Um einige Ihrer Fragen zu beantworten:

• Im Allgemeinen brauchen Sie$d$Quantenzahlen für$d$Dimensionen, Modulo-Entartungen. Beim Wasserstoffatom in 3D gibt es die sphärische Symmetrie und die zufällige Symmetrie$^1$, sodass Sie nur eine Quantenzahl benötigen. Im$d$Dimensionen bleibt die sphärische Symmetrie, aber ich denke, dass das Vorzeichen nicht, was bedeuten würde, dass Sie es brauchen$d-1$Quantenzahlen für$d\neq 3$. Man müsste prüfen, ob der Runge-Lenz- Vektor darin konserviert ist$d$Abmessungen oder nicht (links als Übung). Wenn dieser Vektor tatsächlich erhalten bleibt, dann würden die Energien davon abhängen$d-2$Quantenzahlen.

• Da es keine analytische Lösung für die radiale Schrödinger-Gleichung gibt, wissen wir es nicht. Im Falle des$d=3$Dimensionen erweist sich die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel als exakt. Wir könnten überprüfen, was dieses Schema vorhersagt$E_n$(obwohl wir nicht wissen konnten, ob es genau wäre oder nicht: Wir müssen mit den numerischen Ergebnissen vergleichen).

• Diese sind Mathematikern bekannt. Sie können darüber im Wikipedia-Artikel nachlesen .

• In geschlossener Form nein. Ich kenne keine asymptotische Formel, aber es sollte ziemlich einfach sein, sie aus der radialen Schrödinger-Gleichung abzuleiten, wo der zentrifugale Term ist$r^{-2}$dominiert für$r\to\infty$, sodass wir den Coulomb-Term vernachlässigen können.

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$^1$In kugelsymmetrischen Systemen hängt das Potential von beidem ab$\theta$Noch$\phi$. In diesen Systemen hängen Energien nicht ab$m$, die azimutale Quantenzahl . Daher hängen die Energien bei radialen Potentialen im Allgemeinen von zwei Quantenzahlen ab,$n,\ell$. Im konkreten Fall von$V=1/r$, gibt es eine andere Symmetrie, die etwas unerwartet ist (oder zumindest geometrisch nicht sehr intuitiv ist). Wann$V=1/r$die Rotationssymmetrie$SO(3)$vergrößert sich zu a$SO(4)$Symmetrie, und diese neue Symmetrie ist als zufällige Symmetrie bekannt . Diese Symmetrie macht die Energieniveaus unabhängig von$\ell$, das ist,$E=E_n$. Beachten Sie, dass diese Symmetrie im Rest der Atomtabelle nicht vorhanden ist, dh bei multielektronischen Atomen, wodurch die Energieniveaus vom Drehimpuls (und damit von den Hundschen Regeln ) abhängen.

Man kann das obige veranschaulichen als

$$\begin{aligned} \text{If $V=V(r,\theta,\phi)$} &\longrightarrow E=E_{n\ell m}\\ \text{If $V=V(r)$}&\longrightarrow E=E_{n\ell}\\ \text{If $V=1/r$}&\longrightarrow E=E_{n} \end{aligned}$$ Die erste Zeile ist das allgemeine Ergebnis für 3D-Systeme; die zweite Linie ist das Ergebnis der Kugelsymmetrie; und die dritte Linie ist das Ergebnis der zufälligen Symmetrie. Wenn Sie mehr über diese Symmetrie lesen möchten, finden Sie einige nette Referenzen in Warum sind die Energieniveaus von Wasserstoff degeneriert?$\ell$und$m$? und/oder hier .