Gibt es allgemeine Ergebnisse über die Knoten von Energieeigenfunktionen in höheren Dimensionen?

Ein bekanntes Ergebnis der Quantenmechanik ist das für ein einzelnes Teilchen in einer Dimension in einem Begrenzungspotential v ( X ) das geht an + ∞ als X → ± ∞ , die Energieeigenfunktionen sind diskret und die N te Eigenfunktion hat genau N − 1 Knoten, an denen ψ ( X ) = 0 . (Außerdem können wir mehr sagen - zum Beispiel zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Knoten in der N te Eigenfunktion existiert ein Knoten in der ( N + 1 ) te Eigenfunktion.)

Gelten ähnliche Ergebnisse für einzelne Teilchen in mehr als einer Dimension oder für Mehrteilchensysteme (für die die Wellenfunktion eher im Konfigurationsraum als im realen Raum definiert ist)? Wenn nicht, gibt es ein explizites Beispiel für ein höherdimensionales oder Mehrteilchensystem, dessen Grundzustandswellenfunktion einen Knoten hat?

Können wir davon ausgehen, dass der Konfigurationsraum ist R N und das Potenzial v ist kugelsymmetrisch?
@Qmechaniker Nr..

Antworten (2)

Das Ergebnis ist tatsächlich auf eine 1d-äquivalente Bewegung anwendbar und als solche auf den radialen Teil der Schrödinger-Gleichung in jeder Dimension anwendbar, wenn dieser radiale Teil getrennt werden kann.

Im Allgemeinen besteht die Wendung darin, dass die äquivalente 1d-Bewegung vom effektiven Potential abhängt – im Fall eines 3D-Zentralpotentials würde das effektive 1d-Potential den zentrifugalen Teil proportional zu enthalten ℓ ( ℓ + 1 ) / R 2 - das Ergebnis kann also drehimpulsabhängig sein oder von anderen Parametern im effektiven Potential abhängen.

Gibt es Gegenbeispiele, wenn das System nicht effektiv 1D ist?
@tparker Ich weiß es nicht. Ich habe diese ältere Antwort von mir gefunden: physical.stackexchange.com/a/319351/36194 , die den Beweis liefert, dass es wirklich eine Eigenschaft von Differentialgleichungen und - IIRC - von Sturm-Liouville-Systemen ist. Ich weiß nicht, ob es eine 2D-Version dieses Ergebnisses gibt, aber es scheint nicht so einfach zu sein, den Beweis in 2D zu reproduzieren, da es eine exakte Ableitung gibt, die eine Integration ermöglicht D ξ : Es scheint problematisch, diesen Schritt in 2D zu reproduzieren.

Ich habe die Antwort auf Chemistry SE gefunden. Anscheinend ist für Systeme mit einem Teilchen in mehr als einer Dimension das einzige bekannte allgemeine Ergebnis, dass die Anzahl der Knoten in der N te Eigenfunktion ist ≤ N − 1 , und nur in 1D ist die Ungleichung immer gesättigt. (Weitere Informationen und genaue Begriffsdefinitionen finden Sie in der Antwort.) Darüber hinaus steigt die Reihenfolge der Knotennummern in höheren Dimensionen nicht unbedingt an. Tatsächlich gibt die Frage ein einfaches explizites Beispiel für ein Ein-Teilchen-System in 3D, bei dem ein höher angeregter Zustand weniger Knoten aufweist als ein niedriger angeregter Zustand. Für Mehrteilchensysteme sind mir überhaupt keine allgemeinen Ergebnisse bekannt.

Gibt es allgemeine Ergebnisse über die Knoten von Energieeigenfunktionen in höheren Dimensionen?
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