Nicht normalisierbarer QM-gebundener Zustand in 4 räumlichen Dimensionen?

Bearbeiten 26. September 13: Tippfehler im Potenzial behoben

Ich löse das folgende (scheinbar einfache) quantenmechanische Problem in vier räumlichen Dimensionen . In natürlichen Einheiten ( ℏ 2 / 2 M = 1 ) lautet die Schrödinger-Gleichung:

[ − ∇ 2 − 24 R 2 ( X 2 + R 2 ) 2 ] ψ ( X ) = E ψ ( X ) ,

Wo R > 0 ist ein Parameter, der gleichzeitig die Tiefe und Reichweite des Potentials charakterisiert. Das Potential hängt nur von der Entfernung vom Ursprung ab, also kann ich Variablen trennen ψ = R N l ( R ) Y l ( θ → ) und die Radialgleichung lautet dann:

[ − ∂ 2 ∂ R 2 − 3 R ∂ ∂ R + l ( l + 2 ) R 2 − 24 R 2 ( R 2 + R 2 ) 2 ] R N l ( R ) = E N l R N l ( R ) .

Problem: Ich scheine eine s -Welle gefunden zu haben ( l = 0 ) nicht streuender Zustand mit Nullenergie E N l = 0 das scheint lokalisiert zu sein:

R N , l = 0 ( R ) = N R 2 − R 2 ( R 2 + R 2 ) 2 E N l = 0.

Aber ich bin nicht in der Lage, diesen "gebundenen" Zustand seit dem Integral zu normalisieren ∫ 0 ∞ D R R 3 | R ( R ) | 2 konvergiert nicht. Was ist die Natur dieses Zustands? Oder vermassele ich gerade etwas total?

Antworten (3)

Nach der Bearbeitung ist das Potential ein beschränkter Operator, sodass der Hamiltonoperator wohldefiniert und von unten beschränkt ist.

Es scheint mir, dass E N l = 0 ist einfach kein legitimer diskreter Eigenwert, da die zugehörige Eigenfunktion nicht quadratintegrierbar ist.
Es kann durchaus sein, dass das Potential überhaupt keine gebundenen Zustände unterstützt.

Danke für die Antwort. Wenn es sich nicht um einen diskreten Eigenwert handelt, handelt es sich dann um einen Streuzustand?

I) Kommentare zur Frage (v1) mit Potenzial v ( R ) = − 24 R 2 ( R 2 − R 2 ) 2 vor der OP-Korrektur:

Es gibt ein größeres Problem mit dem Modell von OP: Wir behaupten, dass der Hamiltonian H ist nach unten unbeschränkt. Die Idee des Beweises ähnelt dieser Phys.SE-Antwort: Es ist möglich, eine Ein-Parameter-Familie von normalisierten Versuchswellenfunktionen zu finden ψ ϵ ( R ) , die sehr nahe der 3-Sphäre lokalisiert sind R = R , so dass die positive kinetische Energie begrenzt bleibt, aber die negative potentielle Energie zu divergiert − ∞ , als ϵ → 0 + , vgl. die Variationsmethode .

II) Kommentare zur Frage (v2) mit Potenzial v ( R ) = − 24 R 2 ( R 2 + R 2 ) 2 nach OPs Korrektur:

Das Potenzial v ( R ) ist jetzt begrenzt

− 24 R 2   ≤   v ( R )   <   0 ,

und da − ∇ 2 ≥ 0 semipositiv ist, der Hamiltonoperator

H   =   − ∇ 2 + v   ≥   − 24 R 2

wird jetzt von unten begrenzt. In der Tat erfüllt die Lösung von OP die TISE mit E = 0 Und ℓ = 0 , und tatsächlich ist es nicht normalisierbar, wie OP behauptet, also gehört es nicht zum Hilbert-Raum H = L 2 ( R 4 ) von quadratintegrierbaren Wellenfunktionen.

Danke für die Antwort. Wenn es sich nicht um einen diskreten Eigenwert handelt, handelt es sich dann um einen Streuzustand?

Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators, der in einem Hilbert-Raum wirkt, kann in drei Typen zerlegt werden, diskrete Eigenwerte, die quadratisch integrierbaren Eigenvektoren zugeordnet sind, absolut kontinuierliches Spektrum und singuläres kontinuierliches Spektrum. Das diskrete Spektrum kann in ein Kontinuum eingebettet werden, ist es aber normalerweise nicht, und ein singuläres kontinuierliches Spektrum ist hauptsächlich auf Zufallssysteme beschränkt. Im vorliegenden Fall ist 0 Teil des kontinuierlichen Spektrums. Man kann es als Streuzustand definieren, aber es gibt viele Situationen, in denen das kontinuierliche Spektrum nichts mit Streuung zu tun hat.

Nicht normalisierbarer QM-gebundener Zustand in 4 räumlichen Dimensionen?
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