Sind Atome in räumlichen Dimensionen d≥4d≥4d\geq 4 instabil, wenn man die Quantenmechanik berücksichtigt?

Beachten Sie zunächst, dass sich verschiedene Autoren nicht darüber einig sind, was das Coulomb-Potential sein sollte$V$In$d$räumlich$^1$Maße. Wir nehmen an, dass es das Gesetz von Gauß erfüllt, dh

Wir werden hier nur das quantenmechanische Wasserstoffatom mit diskutieren$d\geq 3$. Lassen Sie uns den Hamilton-Operator normalisieren als

Für eine gründliche Diskussion über unbegrenzte Operatoren , Domänen und selbstadjungierte Erweiterungen usw. siehe z. 1 und Verweise darin. Fassen wir hier die Ergebnisse zusammen:

• Das Wasserstoffatom in drei räumlichen Dimensionen$d=3$ist stabil und hat gebundene Zustände.

• Vier räumliche Dimensionen$d=4$ist ein interessanter Grenzfall, bei dem das Coulomb-Potential und das Zentrifugalpotential gleich sind$1/r^2$Verhalten. Wenn wir eine dimensionslose Konstante definieren

  $$Z~:=~\frac{2me_{d=4}^2}{\hbar^2},\tag{3}$$ dann gibt es drei Fälle, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag:

  1. $Z\leq 0$: Der Hamiltonoperator (2) hat keine gebundenen Zustände, dh das Wasserstoffatom ist ionisiert.

  2. $Z>1$: Der Hamiltonoperator (2) ist nach unten unbeschränkt, dh das Wasserstoffatom ist instabil.

  3. $0<Z\leq 1$: Es ist möglich, asymptotische Randbedingungen (ABCs) bei zu definieren$r=0$/ selbstadjungierte Erweiterungen des Hamiltonoperators, so dass das Spektrum nach unten begrenzt ist. Einige dieser Erweiterungen haben gebundene Zustände, andere nicht.

• In mehr als vier Raumdimensionen$d>4$, das Wasserstoffatom ist instabil. Grob gesagt, z$d>4$das Coulomb-Potential (1) dominiert die$1/r^2$Zentrifugalpotential bei ausreichend kleinem Radius$r$in der Nähe des Kerns. Die Instabilität kann z. B. über die Variationsmethode rigoros nachgewiesen werden , vgl. der folgende Satz.

  Satz. Ein attraktives singuläres Potenzgesetzpotential

  $$V(r)~\propto~ -r^{-n}, \qquad n~>~2,\tag{4}$$ hat ein nach unten unbeschränktes Spektrum, dh es hat keinen Grundzustand und ist instabil.

  Beweis des Satzes: Betrachten Sie eine normalisierte Gaußsche Test-/Versuchswellenfunktion

  $$\begin{align}\psi(r)~=~&Ne^{-\frac{r^2}{2L^2}} ~=~Ne^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2L^2}}, \cr \int d^dr~|\psi(r)|^2 ~=~&\langle\psi|\psi \rangle~=~1,\end{align}\tag{5}$$ Wo$N,L>0$sind zwei Konstanten. Aus Dimensionsgründen ist die Konstante$L$muss die Dimension der Länge und die Normalisierungskonstante haben$N$muss skalieren wie $$N ~\propto~ L^{-\frac{d}{2}}.\tag{6}$$ Der Erwartungswert$\langle\psi| K|\psi \rangle$des kinetischen Energieoperators$K=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$muss skalieren wie $$0~\leq~\langle\psi| K|\psi \rangle ~\propto~ L^{-2},\tag{7}$$ im Wesentlichen wegen des Laplace-Operators$\Delta=\vec{\nabla}^2$enthält zwei Positionsableitungen. Der Erwartungswert$\langle\psi| V|\psi \rangle$des Potentials (4) muss skaliert werden $$0~\geq~\langle\psi|V|\psi \rangle ~\propto~ - L^{-n}\tag{8}$$ aus ähnlichen Gründen. Also durch Auswahl$L\to 0^{+}$kleiner und kleiner, die negative potentielle Energie$\langle\psi| V|\psi \rangle\leq 0$schlägt die positive kinetische Energie$\langle\psi| K|\psi \rangle\geq 0$, so dass die durchschnittliche Energie$\langle\psi| H|\psi \rangle$wird immer negativer, $$\begin{align} \langle\psi| H|\psi \rangle ~=~&\langle\psi| K|\psi \rangle + \langle\psi| V|\psi \rangle\cr ~\to~& -\infty \quad\text{for}\quad L\to 0^{+}.\end{align} \tag{9}$$ Das Spektrum ist also nach unten unbeschränkt.$\Box$

Verweise:

1. M. Bures & P. ​​Siegl, Annals of Physics 354 (2015) 316 , arXiv:1409.8530 .

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$^1$Man kann zeigen, dass für kleine kompakte Dimensionen, die viel kleiner als die charakteristische Größe des Wasserstoffatoms sind (wie zB von der Stringtheorie vorhergesagt ), solche Dimensionen gemittelt werden und vom Wasserstoffatom effektiv nicht gefühlt werden können. Mit anderen Worten, man muss praktisch nur große räumliche Dimensionen berücksichtigen$\cong \mathbb{R}^d$.