Lösung der 1D-Schrödinger-Gleichung für das Potential V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [geschlossen]

Question

Lösung der 1D-Schrödinger-Gleichung für das Potential V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [geschlossen]

Rajesh D

Vielleicht wurde diese Frage schon gestellt, aber ich konnte sie nicht finden, also lass es mich wissen, wenn sie schon da ist.

Betrachten Sie ein Potenzial, $V(x) = -\frac{1}{|x|}$ und wenn wir dies auf eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung anwenden, würde ich gerne die Lösung für die Wellenfunktion in 1D kennen. Gibt es eine einfache analytische Lösung? Hat es ein oszillierendes Verhalten wie z

ψ (X, T) = P (X) e^{ich k X} e^{ich ω T}

$\psi(x,t) = P(x) e^{ikx}e^{i\omega t}$ Ich meine, wird es einen Faktor wie geben

e^{i k x}

$e^{ikx}$ ? Aus der Internetsuche, die sich eindimensionales Wasserstoffatom ansieht, bin ich mir zunächst nicht sicher, ob es eine analytische Lösung gibt, aber ich denke, es wurde vorgeschlagen, dass ein exponentieller Zerfall, so etwas wie

P (X) = e^{- a X}

$P(x) = e^{-\alpha x}$ ist anwesend. Aber ich bin mir nicht sicher, ob Schwingungen wie vorhanden sind

e^{i k x}

$e^{ikx}$ . Daher würde ich mich über Anregungen und Erläuterungen freuen.

PS: Ich interessiere mich nicht für Wasserstoffatome, sondern für dieses spezifische 1D-Potenzial.

QMechaniker

Eine mögliche Methode: Ein 1D-Schr. Problem mit Wellenfkt.

ϕ

$\phi$ kann auf einen äquivalenten 3D-Radial-Schr abgebildet werden . Problem mit Radialwellenfkt.

R (r) = r ϕ (r)

$R(r)=r\phi(r)$ , deren Lösung in jedem QM-Lehrbuch zu finden ist.

Vibert

@Qmechanic: Das Potenzial ist dasselbe, aber der radiale Teil des Laplace-Operators ist nicht dasselbe wie

\partial_{r}^{2}

$\partial_r^2$ , Rechts?

QMechaniker

@Vibert: Richtig, also muss die Wellenfunktion entsprechend neu definiert werden.

Antworten (2)

Lösung der 1D-Schrödinger-Gleichung für das Potential V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [geschlossen]

Eine mögliche Methode: Ein 1D-Schr. Problem mit Wellenfkt. $\phi$ kann auf einen äquivalenten 3D-Radial-Schr abgebildet werden . Problem mit Radialwellenfkt. $R(r)=r\phi(r)$ , deren Lösung in jedem QM-Lehrbuch zu finden ist.
@Qmechanic: Das Potenzial ist dasselbe, aber der radiale Teil des Laplace-Operators ist nicht dasselbe wie $\partial_r^2$ , Rechts?
@Vibert: Richtig, also muss die Wellenfunktion entsprechend neu definiert werden.

Trimok · Answer 1

Mit Potenzial $V(x) = - \frac{\alpha}{|x|}$ , mit der Notation $a = \large \frac{\hbar^2}{m \alpha}$ , Lösungen sind :

u_{N}^{+} (X, T) \sim X e^{- \frac{X}{N A}} L_{N - 1}^{1} (\frac{2 X}{N A}) e^{- \frac{1}{ℏ} E_{N} T} F Ö R X > 0

$u^+_n(x,t) \sim x e^{ - \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x>0$

u_{N}^{+} (X, T) = 0 F Ö R X \leq 0

$u^+_n(x,t) = 0~for~~ x\le0$

Und :

u_{N}^{-} (X, T) \sim X e^{+ \frac{X}{N A}} L_{N - 1}^{1} (\frac{2 X}{N A}) e^{- \frac{1}{ℏ} E_{N} T} F Ö R X < 0

$u^-_n(x,t) \sim x e^{ + \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x<0$

u_{N}^{-} (X, T) = 0 F Ö R X \geq 0

$u^-_n(x,t) = 0~for~~ x\ge0$

dessen Energie ist:

E_{N} = - \frac{1}{N^{2}} (\frac{M a^{2}}{2 ℏ^{2}})

$E_n = - \frac{1}{n^2} (\frac{m \alpha^2}{2 \hbar^2})$

$L_n^\gamma$ ist das verallgemeinerte Laguerre-Polynom

[ BEARBEITEN] Es gibt 2 verschiedene Basisfunktionen, siehe diese Referenzseite $192$ Formeln $20a$ Und $20b$

@Trimok: Ich habe zwei Fragen. Was ist das 'r' und wie haben Sie 'n' eingeführt und warum müssen wir 'n' einführen?
@RajeshD: Entschuldigung, da war ein Tippfehler, es ist ein $|x|$ (nicht $r$ ). Ich habe die Antwort bearbeitet. Der Index $n$ entspricht den unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten. Die Lösung $u_n$ ist ein Eigenvektor für den Energieoperator (die Hamilton-Operator) mit dem Eigenwert $E_n$ . Der Satz von $u_n$ ist eine Basis für jede allgemeine Lösung, dh jede allgemeine Lösung $u(x,t)$ kann geschrieben werden $u(x,t) = \sum \lambda^n u_n(x,t)$ , bei dem die $\lambda^n$ sind komplexe Koeffizienten.
@RajeshD: Für die praktische Einführung von $n$ , die erste Idee (wie von Qmechanic angegeben) besteht darin, mit einem "3D"-Problem zu beginnen, dh einem Wasserstoffatom . Wir wissen, dass in diesem Fall die Energie quantisiert ist und die Energieniveaus durch eine ganze Zahl indiziert sind $n$ . Der $1D$ Lösung ist ungefähr $r$ mal den radialen Teil der $3D$ Lösung, mit Einnahme $l=0$ (weil kein Drehimpuls drin ist $1D$ )
@Trimok: Ich würde es schwer finden, die Amplitude zu sehen $x=0$ Null ist, obwohl es ein anziehendes Kraftfeld ist.
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, bei $x=0$ ist Null. Tatsächlich können wir versuchen, klassisch zu denken. Wenn das Potenzial sehr groß ist $x=0$ , klassisch bedeutet das, dass die Geschwindigkeit sehr groß ist $x=0$ , also verbringt das Teilchen nur sehr wenig Zeit damit $x=0$ , also ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, sehr gering $x=0$ .
Was mich überrascht, ist, dass wir anscheinend keine Lösungen mit ungerader Parität haben. Für alle $n$ , wir haben $u_n(-x) = u_n(x)$ , während ich einige Lösungen mit erwarten würde $u_n(-x) = -u_n(x)$ weil der Hamiltonoperator mit dem Paritätsoperator pendelt. Gibt es einen einfachen Grund, warum wir keine seltsamen Lösungen sehen?
@Lagerbaer: Hier $Pu_n(x) = u_n(-x)=u_n(x)$ . Es scheint mir also, dass es keine neue Lösung gibt.
Trimok: Ich vermute, dass jede Quantisierung in 1-D erfolgen sollte. Ich vermute, Sie haben die Quantisierung von 3-D ziemlich blind übernommen. Wenn ich mir die Differentialgleichung mit kaum Randbedingungen und perfekter Symmetrie anschaue, bezweifle ich, dass eine Quantisierung erforderlich ist.
@RajeshD: Ich habe die Antwort bearbeitet, weil es Subtelties gibt: siehe diese Referenzseite $192$ Formeln $20a$ Und $20b$ . Tatsächlich gibt es 2 Funktionen $u^+_n$ Und $u^-_n$ , die jeweils nur auf definiert sind $x>0$ Und $x<0$
@Trimok: "Klassisch bedeutet das, dass die Geschwindigkeit bei x = 0 sehr groß ist, also wird sehr wenig Zeit vom Partikel um x = 0 verbracht", gut, aber ich möchte mein Geld kaum darauf setzen. Ich denke, es ist bestenfalls zweifelhaft.
@RajeshD: "Ich denke, es ist bestenfalls ziemlich zweifelhaft." Sie haben wahrscheinlich Recht ... aber die Tatsache, dass die Wellenfunktion genau bei Null liegt $x=0$ ist eine Sache, und die Tatsache, dass die Wellenfunktion in einem bestimmten Intervall (von Größe $na$ ) um $x=0$ , ist eine andere Sache.
@ Trimok: $u_n(x)$ ist stetig bei $x = 0$ , was bedeutet, gib mir irgendeine Wahrscheinlichkeit $P$ , wie klein auch immer, ich kann einen finden $\epsilon$ so dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall zu finden $(-\epsilon,\epsilon)$ ist kleiner als $P$ .
@Trimok: Ich lese Ihre Referenz. Inzwischen eine interessante Sache. Die Wahrscheinlichkeit, im Zentrum zu verschwinden, scheint beim 3-D-Wasserstoffatom nicht aufzutreten. Überprüfen Sie die Wellenfunktion des 1s-Orbitals des Wasserstoffatoms, es hat die Form $\psi_{1s}(r) = a e^{-kr}$ , Wo $k$ Und $a$ sind einige Konstanten und $r$ ist der radiale Abstand vom Kern.
@RajeshD: $\psi_{1s}$ entsprechen $l=0$ . Für den allgemeinen Fall $l>0$ , du hast ein $r^l$ Koeffizient, also ist die Wellenfunktion 0 an $x=0$
Übrigens hat jedes eindimensionale anziehende Potential einen gebundenen Zustand.
@Lagerbaer ; (Ich habe meine vorherige Antwort bearbeitet, die nicht streng genug war). Ja, aber das sollte für andere Dimensionen gelten, nein?. Es scheint mir, dass es eine Äquivalenz zwischen anziehendem Potential und gebundenen Zuständen gibt?
Vielen Dank für die Zusendung des Papiers. Es ist wirklich interessant und überhaupt nicht intuitiv, dass die Singularität des Coulomb-Potentials im Wesentlichen eine Potentialbarriere ist. In Bezug auf gebundene Zustände können Sie in 2D und 3D attraktive Potentiale haben, die zu schwach sind, um ein Elektron einzufangen.
@Lagerbaer: Können Sie ein Beispiel für ein solches 2D- oder 3D-Potential geben? Danke.
Hier ist am Ende ein Beispiel für den kugelsymmetrischen Potentialtopf: en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_well
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Roger Wadim · Answer 2

Die eindimensionale Schrödonger-Gleichung mit Coulomb-Potential ist bekanntermaßen problematisch, da die Grundzustandsenergie divergiert. Es kann jedoch durch Einführung eines geeigneten Cutoffs gelöst werden. Hier ist die Zusammenfassung aus dem klassischen Loudon-Papier Eindimensionales Wasserstoffatom , das dieses Problem löst:

Es wird gezeigt, dass das quantenmechanische System, das aus einem Teilchen in einer Dimension besteht, das einer Coulomb-Anziehung ausgesetzt ist (das eindimensionale Wasserstoffatom), einen Grundzustand unendlicher Bindungsenergie hat, wobei alle angeregten Bindungszustände des Systems eine zweifache Entartung aufweisen . Der Zusammenbruch des Theorems, dass ein eindimensionales System keine Entartung haben kann, wird untersucht. Die Behandlung veranschaulicht eine Reihe von Eigenschaften, die der Quantenmechanik eindimensionaler Systeme gemeinsam sind.

Obwohl die Arbeit ursprünglich im American Journal of Physics veröffentlicht wurde, da sie nur von akademischem Interesse war, wurde sie zu einer häufig zitierten auf dem Gebiet der Kohlenstoffnanoröhren, die effektiv eindimensionale Systeme sind und bei denen vorhergesagt wurde, dass die Exzitonenenergien anomal groß sind (Natürlich gibt es bei den Nanoröhren einen natürlichen Grenzparameter – den Durchmesser der Nanoröhren). Bei anderen eindimensionalen Strukturen, wie z. B. Halbleiter-Quantendrähten, ist das Problem weniger ausgeprägt, da eine Abschirmung des Coulomb-Potentials durch die im Material außerhalb des Drahtes vorhandenen Elektronen erfolgt.

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