Mathematische Realisten glauben, dass mathematische Entitäten unabhängig vom menschlichen Verstand existieren. Mathematische Objekte haben eine objektive Eigenexistenz, und sie werden von Mathematikern entdeckt, nicht erfunden.
Aber gilt das für alle mathematischen Entitäten?
Es scheint intuitiv, dass Konzepte wie die Zahl 3, ungerade Zahl, sqrt(2), Dreieck, Kugel, Kegel usw. eine unabhängige Existenz haben.
Andererseits scheinen einige der fortgeschritteneren mathematischen Konzepte, denen man beim Studium der Natur- und Ingenieurwissenschaften begegnet, definitiv wie künstliche menschliche Konstrukte.
Konzepte wie die Fourier- und die Laplace-Transformation , Oberflächenintegrale , Hermite-Polynome , Weil-Gruppen usw. ... scheinen näher an technischen Innovationen zu liegen, auf Augenhöhe mit Computeralgorithmen oder menschlichen Sprachen, und scheinen definitiv wie Objekte zu sein, die von Mathematikern erfunden wurden, nicht entdeckt.
Ja da ist. Maddy nimmt diese Position in Perception and Mathematical Intuition ein , ebenso wie neuere mathematische Aristoteliker. Die Alternative, zu glauben, dass alles real ist, kommt normalerweise mit einem ausgewachsenen Platonismus (Formen in einem separaten Bereich) und ist nicht sehr beliebt, siehe jedoch Browns Platonism, Naturalism, and Mathematical Knowledge für eine moderne Verteidigung. Lassen Sie mich jedoch hinzufügen, dass viele moderne Realisten pragmatisch fiktive mathematische Entitäten zulassen würden, die über bloß konstruierbare hinausgehen, wie unzugängliche Kardinäle oder nicht messbare Lebesgue-Mengen, obwohl Aristoteles möglicherweise konservativer gewesen wäre.
Hier ist ein langes Zitat aus Franklins Aristotelischem Realismus , das ich vollständig wiedergebe, weil es die Fragen direkt anzugehen scheint:
„ Die verteidigte These war, dass sich einige notwendige mathematische Aussagen direkt auf die Realität beziehen. Die stärkere These, dass sich alle mathematischen Wahrheiten auf die Realität beziehen, scheint zu stark zu sein ... Aussagen über negative Zahlen können sich auf irgendeine Weise auf die Realität beziehen, da man wahre Schlussfolgerungen ziehen kann über Schulden durch Verwendung negativer Zahlen, aber der Bezug ist indirekt, in der Weise, wie Aussagen über den Durchschnittsverdiener auf die Realität verweisen, aber nicht im direkten Sinne, etwas über eine Einheit, den „Durchschnittsverdiener“, zu behaupten Ein solcher Hinweis ist grundsätzlich nicht mysteriös, bedarf aber im Einzelfall der Erläuterung.
Man kann also zugeben, dass viele der in der Mathematik erwähnten Entitäten fiktiv sind, ohne zuzugeben, dass dies die Mathematik einzigartig macht; minus 1 kann anderswo als fiktives Gebilde angesehen werden, wie der typische Londoner, Löcher, die Staatsverschuldung, der Zeitgeist und so weiter. Was behauptet wurde, ist, dass es Eigenschaften wie Symmetrie, Kontinuität, Teilbarkeit, Zunahme, Ordnung, Teil und Ganzes gibt, die reale Dinge besitzen und die direkt von der Mathematik untersucht werden, was zu notwendigen Aussagen darüber führt. "
Was ich beschrieben habe, sind Variationen des "echten" mathematischen Realismus, aber es gibt auch eine andere Art, bei der dieses Problem nicht einmal auftritt. Hier ist Quine: „ Ich sehe keinen Weg, die Bedürfnisse der wissenschaftlichen Theorie zu erfüllen … ohne Universalien irreduzibel in unsere Ontologie aufzunehmen … Der Nominalismus … ist offensichtlich für ein modernes wissenschaftliches Weltsystem unangemessen “. Dies wurde als das „Unverzichtbarkeitsargument“ für die Existenz von Universalien bekannt, Putnam schloss sich Quine an, als er es in den 1970er Jahren akzeptierte, als er Realist war. Wer dies liest, sollte jedoch bedenken, dass für Quine „ Sein ein Wert einer Variablen sein soll “ in einer theoretischen Ontologie, und Ontologien, ob wissenschaftlich oder nicht, „ Mythen “ und „ Mythen “ sind.„. „Universale existieren“ bedeutet also nur, dass unser aktuelles wissenschaftliches System sie als Variablen benötigt, und was immer es sonst noch benötigt, existiert auch.
Das war damals. Seitdem haben Nominalisten wie Chihara und Field gezeigt, dass Mengen und Zahlen in der Wissenschaft doch entbehrlich sind. Wie Burgess, Maddys Mentor und Aristoteliker, es in Why I am Not a Nominalist ausdrückte : „ Quine und Putnam waren falsche Freunde von Zahlen, wenn sie Argumente vorbrachten, denn ihre Akzeptanz scheint von der Behauptung der Unverzichtbarkeit abzuhängen “.
Das ist eine ausgezeichnete Frage, weil sie direkt zum Kern des Problems des mathematischen Realismus führt, der im Wesentlichen dieselbe Frage ist wie das Problem der Universalien, das im Wesentlichen dasselbe ist wie das Geist-Körper-Problem des Cartesianischen Dualismus .
Im Mittelpunkt all dieser Fragen steht die Frage, ob wir eine rein materielle Existenz führen oder ob es einen Geist in der Maschine gibt.
Obwohl ich weder viel über mathematische Realisten wie Roger Penrose weiß, noch über die Gründe, warum sie so glauben, wie sie es tun, kann ich sagen, wie sich diese Probleme meiner Meinung nach auf das auswirken, was meiner Meinung nach mathematischer Realismus sein sollte.
Das Problem in @Alexanders Frage läuft auf Komplexität hinaus. Es scheint einfach genug, die implizite Reihenfolge der ganzen Zahlen zu sehen und dann intuitiv zu verstehen, dass diese real sind, denn jeder muss daher eine unabhängige Realität haben. Aber wenn es um komplizierte und erfinderische Lösungen für Probleme geht, die vielleicht gar nicht unbedingt Probleme sind, die einer Lösung bedürfen, dann scheint es intuitiv, dass eine solche Kreativität in jeder Hinsicht originell sein muss.
Die Frage ist also implizit nach Kreativität, nach Kunst und wo wir, wenn überhaupt, eine Grenze zwischen Kunst und Wissenschaft ziehen,
Eine Möglichkeit, das Problem anzugehen, besteht darin, Poesie und das Wörterbuch in Betracht zu ziehen. Das Wörterbuch impliziert durch seine bloße Existenz alle möglichen Anordnungen der Wörter, die es enthält; Darin liegt sein Geist, und zu diesen Möglichkeiten gehören die gesamten Werke von Shakespeare, von denen wir theoretisch glauben, dass sie von einer Armee von Schimpansen repliziert werden könnten, die auf Schreibmaschinen herumhämmern. Wenn also Shakespeare schreibt „Was steckt in einem Namen? Das, was wir mit anderen Worten eine Rose nennen, würde so süß riechen;“ Die Phrase [und ihre Worte] gewinnt durch ihren Kontext im Stück an Bedeutung, ebenso wie das Stück an Bedeutung gewinnt, indem es von Shakespeare in die Welt gebracht wird, und dann noch mehr durch Aufführungen, seinen Platz in der Geschichte und die Auswirkungen, die es hatte unzählige Leben und die Ableger in Musik und Film.
All diese kontextbezogene Bedeutung verstärkt Teile des Geistes, die im Wörterbuch potentiell vorhanden sind, und darin liegt die Kunst, der kreative Prozess, etwas von geringer Bedeutung zu nehmen und es mit größerer Bedeutung zu erfüllen. Das hat Marcel Duchamp mit Fountain getan, ebenso wie sein Publikum. [Allerdings nicht die Ausstellungstafel!]
Kreativität in der Mathematik unterscheidet sich nicht von Kreativität in Kunst, Literatur oder anderen Handlungen im Leben. Es multipliziert die spärliche Bedeutung in den gespenstischen Beziehungen zwischen Universalien, indem es sie auf mehr oder weniger originelle Weise zum Leben erweckt, was durch den Wert bestätigt wird, den wir auf Originalität und Kreativität legen.
Die Quintessenz ist, dass dem Geist weitaus komplexere und unvorhersehbarere Lösungen vom ganzen Leben hinzugefügt werden, sodass es kein spezifisches Problem mit mathematischer Komplexität gibt. Das Problem besteht in erster Linie in der ursprünglichen Prämisse eines gespenstischen mathematischen Realismus. Ist es wirklich unabhängig real?