Graphen und Klein-Flasche?

Ich bin mir immer noch nicht sicher, was Sie genau als Klein Bottle wollen, aber lassen Sie mich einige Anmerkungen machen, die Ihnen helfen könnten, zu klären, was genau Sie wissen möchten. (Warnung: Ich schreibe dies, während ich sehr müde bin, die Leute sind eingeladen, mich zu korrigieren.)

Zunächst muss man darauf achten, die Bandstruktur des Volumens von der Bandstruktur eines halbunendlichen Streifens (mit Kanten) zu unterscheiden. In Ihrer zweiten Abbildung sind 1 und 2 Massenbandstrukturen, während 3 die Bandstruktur eines halbunendlichen Streifens ist. Ich denke, Sie mischen diese.

• Massenbild : Beide Schwung$k_x$und$k_y$sind gute Quantenzahlen. Angenommen, Sie beginnen mit einem trivialen Isolator (Lücke in der Bandstruktur, Nummer 2 in Ihrem Bild) und ändern kontinuierlich die Parameter Ihres Systems. Solange ich die Massenlücke öffne, haben Sie einen trivialen Isolator. Plötzlich schließt sich die Volumenlücke bei einem Wert Ihrer Parameter ( kritischer Punkt ) und öffnet sich schnell wieder, jetzt befinden Sie sich in der topologischen Phase, ABER die Volumenbandstruktur sieht immer noch wie in Abbildung 2 oben aus. Wie sieht man den Unterschied in diesen beiden Phasen? Eine Möglichkeit besteht darin, nach Kantenzuständen zu suchen.
• Kantenbild: Machen Sie das System entlang endlich$y$-Richtung, also jetzt erst$k_x$ist eine gute Quantenzahl. Jetzt haben Sie viele Bänder, je nachdem, wie viele Gitterplätze Sie zusammenstellen$y$. Wenn Sie sich in der trivialen Phase befinden, ist das System immer noch lückenhaft und langweilig. Während Sie die Systemparameter ändern und den kritischen Punkt erreichen, schließt sich die Lücke aller Bänder und dann öffnen sich die meisten (aber nicht alle) Bänder wieder (Bild 3 oben). Wenn man sich die Eigenvektoren ansieht, wird man sehen, dass die Bänder mit einer Lücke Massenzuständen entsprechen, während die Bänder ohne Lücke (mit einem Dirac-Punkt) Zuständen entsprechen, die entlang der Kante lokalisiert sind. Außerdem sind diese Randzustände robust.

Dies erwähne ich, falls es hier zu Missverständnissen kommen sollte. Nun zu Ihrer Frage, wie kann man den Zusammenhang zwischen Bandstruktur, Brillouin-Zone und Topologie erkennen? Das Interessante ist, dass wir nur die Masse analysieren müssen, um die Topologie des Systems zu untersuchen, obwohl die interessante Physik entlang der Kante liegt (dies wird in der Literatur als Masse-Kanten-Korrespondenz bezeichnet ).

Angenommen, wir fügen Graphen eine Spin-Bahn-Kopplung hinzu, die konserviert$S_z$, was bedeutet, dass obwohl der Spin$SU(2)$Symmetrie nicht gewahrt ist, ist es immer noch wohldefiniert, von Spin-up/down zu sprechen (so a$U(1)$Untergruppe ist immer noch eine Symmetrie). Ich denke, dass dieser Begriff eine Lücke an den Dirac-Punkten aufreißen wird$K$und$K'$und das System wird zu einem Isolator. Seit$K$und$K'$nicht mehr wichtig sind, haben wir ein Vier-Band-Modell (zwei von Spin up/down und zwei von Untergitter A/B). Seit$S_z$konserviert ist, ist der (Massen-)Hamiltonoperator blockdiagonal

$H(\mathbf k) = \begin{pmatrix} H_{\uparrow}(\mathbf k) & \\ & H_{\downarrow}(\mathbf k) \end{pmatrix}$,

wo$H_{\uparrow}$/$H_{\downarrow}$sind$2\times 2$Matrizen. Da das System die Zeitumkehrsymmetrie beibehält, stehen die beiden Hamiltonianer durch eine Zeitumkehrtransformation in Beziehung$H_{\downarrow} = \Theta H_{\uparrow}\Theta^{-1}$. Da die Brillouin-Zone ein Torus ist, müssen wir Karten klassifizieren$T^2\rightarrow \mathcal H$, wo$\mathcal H$ist der entsprechende Raum von$4\times 4$Matrizen, die einigen Einschränkungen gehorchen (Lücken- und Zeitumkehrinvarianz). Für dieses Modell müssen wir jedoch nicht analysieren$\mathcal H$. Da das Modell blockdiagonal ist, können wir jeden Block einzeln betrachten$2\times 2$Matrix kann auf der Basis von Pauli-Matrizen geschrieben werden

$H_{\alpha}(\mathbf k) = d_0(\mathbf k) \mathbf I + \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma}$, wo$\alpha = \uparrow, \downarrow$(Die Abhängigkeit von$d_0$und$\mathbf d$an$\alpha$wird zur Vereinfachung der Schreibweise unterdrückt).

Da ist das Spektrum$E(\mathbf k) = d_0(\mathbf k) + \sqrt{\mathbf d\cdot\mathbf d}$, wir können uns kontinuierlich verformen$d_0$auf Null und verformen$\mathbf d\rightarrow \hat{\mathbf d}=\frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$ohne die Lücke zu schließen (und somit immer noch in derselben topologischen Klasse zu sein). Somit können wir jeden Block des Hamilton-Operators durch die Karte klassifizieren$T^2\rightarrow S^2$,$\mathbf k\rightarrow \hat{\mathbf d}(\mathbf k)$. Dies wird grundsätzlich in die zweite Homotopiegruppe der 2-Sphäre eingeordnet$S^2$(Wicklungszahl),$\pi_2(S^2) = \mathbb Z$(Nun, die Karte stammt von einem Torus$T^2$und nicht$S^2$, also brauchen wir ein Argument dafür, warum wir die zweite Homotopiegruppe verwenden können, aber darauf werde ich jetzt nicht eingehen). Die Windungszahl von$\hat{\mathbf d}(\mathbf k)$ist durch den Grad der Abbildungsformel gegeben

$C_1^{\alpha} = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y}\in\mathbb Z.$

Somit bildet jeder Block separat einen Integer Quantum Hall-Effekt (siehe auch diese Antwort ). Beachten Sie, dass$C_1$ist im Grunde die erste Chern-Nummer, wo$\epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = \hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y}$,$F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}$wo$A_{\mu}(\mathbf k) = -i\langle\psi(\mathbf k)|\partial_{\mu}\psi(\mathbf k)\rangle$ist die Berry-Phase für die gefüllten Zustände (um zu sehen, wie man die Berry-Phase in Bezug auf umschreibt$\hat{\mathbf d}$siehe dieses Papier . Der Grund, warum ich den Chern-Zahlen-Ansatz vermieden habe, ist, dass man in die Diskussion von Vektor- (oder Haupt-) Bündeln einsteigen muss, was alles nur noch komplizierter machen würde).

Jetzt sind wir fast fertig. Wir haben zwei Chern-Zahlen gefunden$C_1^{\downarrow}$und$C_1^{\uparrow}$, gibt es eine Chern-Nummer für das kombinierte System? Seit$H_{\downarrow} = \Theta H_{\uparrow}\Theta^{-1}$durch Zeitumkehrsymmetrie zusammenhängen, das kann man zeigen$C_1^{\uparrow} = -C_1^{\downarrow}$. Also die Summe$C_1^{\uparrow} + C_1^{\downarrow} = 0$, aber der Unterschied$C_1^{\uparrow} - C_1^{\downarrow} = 2C_{spin}$ist gut definiert und wird manchmal als Spin-Chern-Zahl bezeichnet . Also rechnen$C_{spin}\in\mathbb Z$wird Ihnen sagen, ob Graphen mit einer Spin-Bahn-Kopplung topologisch ist oder nicht.

Wenn man jedoch eine Störung hat, bricht das zusammen$S_z$, dann bricht unsere Konstruktion zusammen. Aber es stellt sich heraus$C_{spin}$ist immer noch gut definiert, aber nur modulo 2,$\nu = C_{spin} \text{mod} 2$. Deshalb nennen die Leute das a$\mathbb Z_2$-topologischer Isolator, siehe mehr Details hier (pdf-Datei).

Es gibt natürlich viele andere Möglichkeiten, die Verbindung zur Topologie zu sehen, und dies ist wahrscheinlich die expliziteste und elementarste Art, dies zu tun. Ist es das, was du wolltest? Ich vermute, dass Sie an der Karte interessiert sind$T^2\rightarrow\mathcal H$,$\mathbf k\rightarrow H(\mathbf k)$und wenn Sie "Energieraum" sagen, meinen Sie$\mathcal H$. Es stellt sich heraus, dass dieser Raum homotopieäquivalent ist$\mathcal H \approx U(8)/Sp(8)$(als symplektische Klasse bezeichnet) durch ein Bandglättungsverfahren. Leider bin ich zu müde, um zu sehen, ob dies ein Unterschied zur Klein-Flasche ist . Ist es das, was Sie interessiert?

Diese Antwort wurde viel länger als ursprünglich geplant.