Gravitationskraft beim Stehen auf einer unendlichen Scheibe

Wenn die Scheibe einen unendlichen Durchmesser hat, ist sie nichts als eine unendliche Ebene. Für jede endliche Dicke können wir eine Masseschicht betrachten, deren Oberflächendichte ist$\sigma$. Wenn die Ebene unendlich ist, spielt es außerdem keine Rolle, ob Sie einen Meter oder einen Kilometer von der Ebene entfernt sind. Wo immer Sie das Flugzeug betrachten, sehen Sie die gleiche Struktur. Das Gravitationsfeld kann also nicht von der Entfernung zur Ebene abhängen. Es muss gleichmäßig sein und ihre Linien müssen senkrecht zur Ebene stehen.

Wendet man das Gaußsche Gesetz auf eine zylindrische Gaußsche Fläche an, deren Symmetrieachse senkrecht zur Ebene steht, erhält man

$$\oint \vec g\cdot \mathrm d\vec A=2Ag=-4\pi G m,$$ wo $A$ist die Basis/Oberseite des Zylinders und $m$ist die Masse darin. Daher lautet das Gravitationsfeld $$g=-\frac{2\pi Gm}{A}=-2\pi G\sigma,$$ und das ist eine endliche Größe.

Bearbeiten: Stecken Sie einfach ein paar Zahlen ein, um zu sehen, was wir bekommen. Die Gravitationskonstante ist$G=6.67\times 10^{-11}\, ~\mathrm{Nm^2/kg}.$Wenn die Masseschicht ist$d$Meter dick und aus einem Material mit der gleichen mittleren Massendichte der Erde ($\rho=5.5\cdot 10^3\, ~\mathrm{kg/m^3}$) wird es geben

$$\sigma=\frac{5.5\cdot 10^3\cdot d\cdot A}{A}=5.5\cdot 10^3\cdot d\,~\mathrm{kg/m^2}.$$ Daher ist die oben berechnete Größe der Gravitation $$g=2.3\cdot 10^{-6}\cdot d\, ~\mathrm{m/s^2}.$$ Um zu geben $9.8\, ~\mathrm{m/s^2}$die Platte müsste sein $4.3\cdot 10^3$Kilometer dick. Denken Sie daran, dass der Durchmesser der Erde ungefähr ist $12\times 10^3$Kilometer.

Sie können das Integral durchführen und werden feststellen, dass die Antwort "endlich" ist - weil nicht nur der Abstand zur Masse zunimmt, sondern auch der Winkel.

Stellen Sie sich einen Kreisring in radialer Entfernung vor$r$: wenn Sie Masse pro Fläche haben$\sigma$, die Gesamtmasse in dieser Entfernung ist$2\pi r \sigma$; wenn der vertikale Abstand zum Mittelpunkt der Scheibe ist$h$, die vertikale Komponente der Kraft geht als$\frac{F\cdot h}{r}$.

Ich belasse es bei diesem Hinweis. Sehen Sie, ob Sie das Integral von hier aus schreiben können. Sie werden feststellen, dass es darauf ankommt$h$und$\sigma$nur. Dies ist dasselbe Ergebnis (und dieselbe Analyse), mit dem Sie beweisen würden, dass das elektrische Feld vor einer gleichmäßig geladenen Ebene endlich ist (mit sehr ähnlich aussehenden Gleichungen).

Da die Frage endlich gegen unendlich ist, brauchen wir wohl nicht das genaue Ergebnis für eine endliche Scheibe (obwohl es nicht schwer zu berechnen ist).

Die einfache intuitive Antwort ist, dass, obwohl die Masse der Scheibe unendlich ist, die meisten Kräfte von den Bits der Scheibe, die ins Unendliche gehen, sich aufgrund der Symmetrie aufheben, also ist die Antwort endlich.

Nehmen wir an, wir sind eine Höhe$h$über der Scheibe. Nehmen wir das an$R$ist eine viel größere Zahl als$h$. Nehmen wir nun an, dass wir die Kraft in zwei Teile zerlegen: Teil 1 ist die Kraft einer sehr großen Scheibe mit Radius$R$, und Stück 2 ist die Kraft vom Rest der Scheibe, die von R bis unendlich reicht. Die Kraft von der sehr großen Scheibe ist eindeutig endlich, da es endliche Masse gibt. Die Kraft vom Rest der Scheibe ist jetzt einfacher zu berechnen$R$ist viel größer als$h$. Die Frage ist also, ob die Kraft aus der verbleibenden Masse eine endliche oder eine unendliche Kraft ergibt.

Stellen wir uns einen Ring (dünner Ring) mit einer Tiefe von 1 Meter vor (wie die Scheibe), Radius$r$(größer als$R$) und Dicke$dr$(ein Infinitesimal) dann können wir die Gravitationskraft aus diesem Ring berechnen. Wie oben erwähnt, besteht ein sehr wichtiger Effekt darin, dass es eine Menge Auslöschung geben wird: weit im Norden liegende Bits des Rings werden zum Beispiel hauptsächlich weit im Süden liegende Bits auslöschen. Der überlebende Teil ist nur die vertikale Komponente der Kraft. Die vertikale Komponente der Kraft führt also einen Faktor von ein$h/r$(Wenn$r$ist viel größer als$h$).

Die vertikale Komponente der Gravitationskraft aus dem Ringraum sieht dann so aus (unter Verwendung des umgekehrten quadratischen Gesetzes und unter Berücksichtigung von Masse ist Dichte mal Volumen):

$$dF = \mathrm{constant} \cdot r \cdot \frac{dr}{r^2}\cdot\frac{h}{r},$$

oder

$$dF = \mathrm{constant}\cdot\frac{dr}{r^2}.$$

Das Integrieren über alle diese Ringe bis ins Unendliche führt zu einem endlichen Ergebnis als Integral von einer endlichen Zahl bis ins Unendliche$1/r^2$ist endlich.