Gravitationszeitdilatation aus mehreren Quellen

Bei der statischen Schwachfeldnäherung wird die Metrik in Bezug auf das Newtonsche Gravitationspotential angenähert$\Phi$als:

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1+2\Phi\right)\mathrm{d}t^2 + (1-2\Phi)\mathrm{d}S^2\text{,}$$ wo $\mathrm{d}S^2$ist die Metrik für Euklidisch $3$-Platz. Eine allgemeinere Situation erfordert die Lösung eines Mehrkörperproblems in der Allgemeinen Relativitätstheorie, obwohl der parametrisierte Post-Newtonsche Formalismus ein kanonisches Näherungsschema liefert. Die ganz allgemeine Antwort auf Ihre Frage lautet also: "Es ist ein sehr schwieriges Problem der numerischen allgemeinen Relativitätstheorie, das keine saubere analytische Lösung hat."

Bei großen Entfernungen von sich langsam bewegenden Objekten (d. h. groß im Vergleich zu ihren Schwarzschild-Radien) können wir jedoch eine Mehrkörper-Zeitdilatation relativ zu einem stationären Beobachter im Unendlichen annähern, wie sie gerade durch die Summe ihrer Gravitationspotentiale gegeben ist:

$$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = 1 - \frac{1}{c^2}\sum_k\frac{GM_k}{r_k} \text{.}$$ Beachten Sie, dass dies mit der Schwarzschild-Formel für große radiale Koordinaten übereinstimmt, da durch die Taylor-MacLaurin-Entwicklung $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}} = 1 - \frac{GM}{rc^2} + \mathcal{O}\left(\frac{R^2}{r^2}\right)\text{,}$$ wo $R = 2GM/c^2$ist der Schwarzschild-Radius. Dies bedeutet auch, dass das einfache Multiplizieren der Faktoren eine ziemlich gute Annäherung ist, solange diese Faktoren nahe beieinander liegen $1$.