Grüne Funktionsformulierung der Quantenmechanik

Question

Grüne Funktionsformulierung der Quantenmechanik

Physik
Greens-Funktionen
Quantenmechanik
Korrelationsfunktionen

Wahrheitssucher

Angenommen, ich habe den Vakuum-Erwartungswert von zeitgeordneten Produkten von Positionsoperatoren im Heisenberg-Bild. Ist es angesichts dieser Greenschen Funktion möglich, Informationen über die Energieeigenwerte zu erhalten, indem ein vollständiger Satz von Basiszuständen eingefügt wird? Ich hänge den Screenshot des Problems unten an:

Ich habe versucht, die Zustände einzufügen, konnte aber nicht herausfinden, wie wir Informationen über die Eigenwerte (und letztendlich über die funktionale Form des Hamilton-Operators) erhalten könnten, wenn uns nur die Green-Funktionen gegeben sind.

Hinweis: Dies ist eigentlich Problem 1 von Kapitel 3 in Tom Banks Buch über qft.

Luzanne

Klingt nach einem interessanten Problem. Könnten Sie bitte klarstellen, was genau als Input gegeben wird (für diejenigen, die das von Ihnen erwähnte Buch nicht zur Hand haben)?

⟨ \emptyset | Q (t_{n}) \dots Q (t_{1}) | \emptyset ⟩

$\left\langle \varnothing \middle| Q(t_n) \dots Q(t_1) \middle| \varnothing \right\rangle$ für alle

t_{n} \geq \dots \geq t_{1}

$t_n \geq \dots \geq t_1$ , mit

\emptyset

$\varnothing$ als niedrigster Energie-Eigenzustand definiert?

Wahrheitssucher

@Luzanne Ich habe meiner Frage einen Screenshot des Problems hinzugefügt. Für Ihre Frage, ja, wir erhalten den Erwartungswert, wie Sie zu Recht erwähnt haben, wobei das Vakuum der Energieeigenzustand des Eigenwerts Null ist.

Luzanne

Danke, das ist klarer. Ich habe eine Bearbeitung vorgeschlagen, da Ihre ursprüngliche Formulierung darauf hindeuten könnte, dass die funktionale Form des Hamilton-Operators auch Teil der Eingabe wäre.

Ján Lalinský

Diese Antwort von Marek kann hilfreich sein: physical.stackexchange.com/a/4611/31895

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Grüne Funktionsformulierung der Quantenmechanik

Klingt nach einem interessanten Problem. Könnten Sie bitte klarstellen, was genau als Input gegeben wird (für diejenigen, die das von Ihnen erwähnte Buch nicht zur Hand haben)? $\left\langle \varnothing \middle| Q(t_n) \dots Q(t_1) \middle| \varnothing \right\rangle$ für alle $t_n \geq \dots \geq t_1$ , mit $\varnothing$ als niedrigster Energie-Eigenzustand definiert?
@Luzanne Ich habe meiner Frage einen Screenshot des Problems hinzugefügt. Für Ihre Frage, ja, wir erhalten den Erwartungswert, wie Sie zu Recht erwähnt haben, wobei das Vakuum der Energieeigenzustand des Eigenwerts Null ist.
Danke, das ist klarer. Ich habe eine Bearbeitung vorgeschlagen, da Ihre ursprüngliche Formulierung darauf hindeuten könnte, dass die funktionale Form des Hamilton-Operators auch Teil der Eingabe wäre.
Diese Antwort von Marek kann hilfreich sein: physical.stackexchange.com/a/4611/31895

Luzanne · Answer 1

Ich denke, es sollte möglich sein, die Energieeigenwerte nur aus der 2-Punkte-Funktion wiederherzustellen. Für $t_2 \geq t_1$ , das verwenden $H \left|0\right\rangle = 0$ , Ich habe:

⟨ 0 | \hat{X} (T_{2}) \hat{X} (T_{1}) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | \hat{X} e^{ich δ T H} \hat{X} | 0 ⟩ = \sum_{N} e^{ich δ T E_{N}} ⟨ 0 | \hat{X} | N ⟩ ⟨ N | \hat{X} | 0 ⟩ =: G (δ T)

$\left\langle 0 \middle| \,\hat{x}(t_2) \, \hat{x}(t_1)\, \middle| 0 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \,e^{i \delta t H}\, \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle = \sum_n e^{i \delta t E_n}\, \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle =: G(\delta t)$ Wo

δ t = t_{2} - t_{1} \geq 0

$\delta t = t_2 - t_1 \geq 0$ ,

\hat{x} := \hat{x} (0)

$\hat{x} := \hat{x}(0)$ Und

| n ⟩, E_{n}

$\left| n \right\rangle, E_n$ sind die Energieeigenvektoren/Eigenwerte. Seit

α_{n} := ⟨ 0 | \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | \hat{x} | 0 ⟩

$\alpha_n := \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle$ ist real , wir haben

G (- δ t) = \bar{G (δ t)}

$G(-\delta t) = \overline{G(\delta t)}$ , also wissen wir es

G

$G$ für alle

δ t \in R

$\delta t \in \mathbb{R}$ . Dann ist seine Fourier-Transformation eine Summe von Dirac-Deltas, die bei lokalisiert sind

E_{n}

$E_n$ 's, mit Amplituden

α_{n}

$\alpha_n$ .

Ich denke, mehr Informationen können durch Anschauen gewonnen werden $3$ -Punkte-Funktionen und so weiter, wodurch letztendlich die vollständigen Informationen über die Theorie aus ihren grünen Funktionen wiederhergestellt werden.

Um ein wenig Kontext zu geben, kann dieses Problem als eine Babyversion der Rekonstruktion einer QFT aus ihrem Pfadintegral (à la Osterwalder-Schrader-Rekonstruktionssatz ) angesehen werden.

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