Grund für das Finden einer bestimmten Lösung für eine inhomogene Differentialgleichung

Es ist im Wesentlichen ein Ergebnis der linearen Algebra, wobei die Tatsache verwendet wird, dass die fraglichen Funktionen einen reellen Vektorraum bilden und die Ableitung ein linearer Operator ist. Also werde ich mit ein wenig linearer Algebra beginnen:

Lassen$V,W$Vektorräume vorbei sein$\mathbb R$oder$\mathbb C$(oder eigentlich irgendein Feld, aber für Differentialgleichungen sind diese beiden von Interesse) und let$L:V\longrightarrow W$sei eine lineare Abbildung. Auch lassen$b\in W$. Wenn$v\in V$ist eine Lösung der Gleichung$L(x)=b$, dann ist die Lösungsmenge der Gleichung genau$v+\ker L:=\{v+x~|~x\in\ker L\}$.

Beweis: Wir zeigen zuerst, dass jedes Element von$v+\ker L$eine Lösung ist, und dann zeigen wir, dass jede Lösung in ist$v+\ker L$. Der erste Teil ist einfach: Alle Elemente dieser Menge haben die Form$v+x$, Wo$x\in\ker L$, das ist$L(x)=0$. So

$$L(v+x)=L(v)+L(x)=b+0=b,$$ Wir haben also tatsächlich eine Lösung. Der zweite Teil ist etwas kniffliger: if$v'$ist dann eine Lösung der Gleichung$L(v')=b$. Seit$L(v)=b$auch das gibt uns$L(v')=L(v)$, und durch Linearität erhalten wir$L(v'-v)=0$, So$v'-v\in\ker L$. Aber dann$v'=v+(v'-v)$, welches ist$v$plus ein Element des Kernels, also$v'\in v+\ker L$.

Betrachten wir nun lineare Differentialgleichungen. Sie sind von der Form

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}y-Ay=b,$$ Wo$A$ist eine Matrix und$b$irgendeine Funktion (der inhomogene Teil). Jetzt sind die Ableitung und die Matrix linear, also könnten wir stattdessen definieren$L:=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-A$und schreibe dies als $$L(y)=b.$$ Seit$L$linear ist, wissen wir durch die obige Theorie, dass die Lösungsmenge eine beliebige Lösung plus der Kern von ist$L$. Die beliebige Lösung ist die besondere Lösung. Der Kern ist die Menge aller zufriedenstellenden Funktionen$L(y)=0$, aber das ist nur die homogene Gleichung, also$\ker L$ist die Menge aller Lösungen der homogenen Gleichungen. Man könnte sagen, dass es die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist. Wir nehmen also eine bestimmte Lösung und fügen die allgemeine Lösung zum homogenen Problem hinzu.