Grundlagen der Zentripetalkraft

Das Objekt fällt in Richtung der Mitte. Es fehlt einfach ...

• Stellen Sie sich vor, einen Satelliten hoch oben zu platzieren und loszulassen. Es wird direkt nach unten fallen und abstürzen.
• Schieben Sie es nun leicht seitwärts, während Sie es loslassen, damit es zu Beginn eine kleine Seitwärtsgeschwindigkeit hat. Ich falle immer noch runter, aber es fällt auch ein bisschen seitwärts. Vorher kracht es leicht seitlich auf den Boden.
• Geben Sie jetzt eine noch größere Seitwärtsgeschwindigkeit an. Es kracht immer noch, aber diesmal weit seitlich von dem Punkt, der direkt darunter liegt.
• Und jetzt geben Sie eine noch größere Startgeschwindigkeit, so groß, dass der Satellit so sehr seitwärts fliegt, dass er die Erde verfehlt . Es fällt immer noch, aber es fällt neben die Erde. Und stürzt nicht auf die Erde.

Nachdem er die Erde verfehlt hat, fliegt der Satellit auf der anderen Seite von der Erde weg. Bald wird es die Schwerkraft wieder zurückziehen. Und dasselbe wird überall passieren – es wird die Erde wieder verfehlen. Dies geht für immer weiter; dies ist eine elliptische Umlaufbahn . Bei einer noch größeren seitlichen Startgeschwindigkeit wird die elliptische Umlaufbahn breiter, bis sie bei einer bestimmten seitlichen Geschwindigkeit genau so breit wie hoch wird – jetzt ist es eine kreisförmige Umlaufbahn .

Die zum Erreichen einer exakt kreisförmigen Umlaufbahn erforderliche Seitwärtsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Formel für die Zentripetalbeschleunigung:

In diesem Fall ist die Zentripetalbeschleunigung die Gravitationsbeschleunigung auf der Umlaufbahn.

Dies war eine Erklärung dafür, warum Objekte in kreisförmiger Bewegung nicht nach innen in Richtung Zentrum fallen. Die Antwort ist, dass sie fallen . Sie fallen ständig . Sie verfehlen auch ständig das Zentrum. Es sind keine Zentrifugaleffekte erforderlich, um dies zu erklären. Sie haben recht, dass die sogenannte Zentrifugalkraft eine fiktive Kraft ist, die im Inertialsystem nicht existiert – sie ist lediglich eine „erfundene“ Kraft, um die „ausgeschwungene“ Tendenz zu erklären, die wir aus unserer eigenen Perspektive (aus der Rotationskraft) empfinden Rahmen) beim Sitzen in einem sich drehenden Auto, in einem sich drehenden Karussell etc.

Ich denke, das ist die Quelle Ihrer Verwirrung:

"...Aber das Objekt hätte näher zur Mitte gehen sollen..."

Verwenden Sie niemals relative Wörter wie "näher", ohne sich zu fragen: "Näher zum Zentrum als was ?"

Und das ist die Antwort auf Ihre Frage: Das Objekt hat sich näher an die Mitte bewegt , als es der Fall gewesen wäre, wenn es sich weiter in einer geraden Linie bewegt hätte .

Denken Sie an Newtons erstes Gesetz: Objekte bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit, wenn keine Kraft auf sie einwirkt. Das heißt, sie bewegen sich mit einer konstanten Geschwindigkeit und einer konstanten Richtung (einer geraden Linie), es sei denn, eine Kraft bewegt sie von diesem Weg weg. Im Fall einer kreisförmigen (oder elliptischen) Bahn richtet die Zentripetalkraft das Objekt kontinuierlich von einer geradlinigen Bahn weg.

Da die von der radial nach innen wirkenden Kraft geleistete Arbeit bei einer Kreisbewegung immer Null ist, ändert sich die kinetische Energie des Objekts nicht und zieht somit nicht nach innen.

Ein besserer Weg zum Verständnis ist ein Stein, der an einer Schnur befestigt ist, die sich im Kreis bewegt.

Denken Sie, dass sich der Stein anfänglich mit einer Geschwindigkeit bewegt$v$. Es neigt dazu, sich entlang einer geraden Linie zu bewegen, wenn keine äußere Kraft auf es einwirkt. Aber die Spannung der Saite versucht, sie nach innen zu ziehen. Wenn es also versucht, sich ein wenig nach vorne zu bewegen, zieht es die Spannung der Saite ein wenig in Richtung Mitte. Während der Stein versucht, sich vorwärts zu bewegen (die neue Vorwärtsrichtung), versucht die Schnur, ihn nach innen zu ziehen. Dieser Vorgang geschieht während der gesamten Bewegung innerhalb winziger Zeitspannen. Das Gesamtergebnis ist, dass sich der Stein auf einer kreisförmigen Bahn zu bewegen scheint.

Was passiert, wenn die Saite die erforderliche Zentripetalkraft nicht bereitstellen kann? Es bricht. Denn: Der Stein bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit. Während also die Sehne versucht, den Stein nach innen zu ziehen, bleibt der Stein wegen des hohen Schwungs durch die hohe Geschwindigkeit lieber auf seiner geraden Bahn. Dadurch löst es sich von der Schnur und setzt seine Reise auf einer geraden Linie fort.

Was ist dann die Ursache dafür, dass das Objekt aufgrund der Wirkung der Zentripetalkraft nicht radial nach innen gedrückt wird?

Die einfache Antwort ist, weil es sich mit einer tangentialen Geschwindigkeit bewegt. Sie wissen, was passiert, wenn die Schnur an einem stationären Stein befestigt ist und versucht, daran zu ziehen.

Ein weiterer Punkt ist, dass jede andere äußere Kraft den Stein verlangsamen wird. Aber die Zentripetalkraft nicht, weil sie senkrecht zur Geschwindigkeit steht. Dies ist offensichtlicher, da die von der Zentripetalkraft verrichtete Arbeit null ist. Wenn Sie einen Stein bewegen und aufhören, ihn zu bewegen, wird er langsamer und stoppt schließlich. Das liegt an äußeren Kräften wie Luftwiderstand. Wenn kein Luftwiderstand, keine Reibung oder andere äußere Kräfte vorhanden sind, können Sie den Stein mühelos auf einer kreisförmigen Bahn bewegen.

Die Zentripetalkraft auf ein Objekt, das sich auf einem Kreisradius bewegt$r$und Tangentialgeschwindigkeit$v$Ist

Die Tatsache, dass sich das Objekt mit einer tangentialen Geschwindigkeit bewegt$\bf v$ist immer relevant, da sich das Objekt, während die Richtung der Kraft zum Zentrum hin gerichtet ist, in einer Richtung senkrecht zu dieser Kraft bewegt . Mit anderen Worten,

Daher bewegt die Zentripetalkraft das Objekt nicht nach innen (Verringern des Werts von$r$), und daher wird es keine Verschiebung nach innen geben, und das Objekt wird den gleichen Abstand beibehalten, während es ständig die Richtung ändert.

Während Objekte, die sich beispielsweise in kreisförmigen Umlaufbahnen um die Erde befinden, wie die ISS, dieses Objekt ständig im freien Fall befindet , ändert sich der durchschnittliche Abstand zwischen diesem Objekt und der Erdoberfläche nicht.

Auch bezüglich der Fliehkraft hast du mit deinem "Verdacht" recht . Sie wirkt zwar von der Richtung zum Zentrum weg, ist aber einfach eine Reaktion (Trägheitskraft) auf die nach innen gerichtete Zentripetalkraft.

Das Objekt würde sich näher zum Zentrum bewegen, wenn die Zentripetalkraft erhöht würde. Ebenso würde es sich weiter vom Zentrum entfernen, wenn die Zentripetalkraft verringert würde. Der springende Punkt bei der kreisförmigen Bewegung ist, dass es sich um einen Gleichgewichtszustand handelt, in dem die auf das Objekt ausgeübte Kraft genau die Stärke hat, die erforderlich ist, um seinen Weg von der Geradeaus-Position abzuweichen, ohne dass das Objekt entweder spiralförmig herauskommt oder es gezwungen wird, spiralförmig zu werden In.

Eine andere Möglichkeit, die Situation zu analysieren: Stellen Sie sich ein Objekt vor, das sich mit einer Geschwindigkeit von gegen den Uhrzeigersinn bewegt$1$, ab dem Punkt$(1,0)$zum Zeitpunkt$0$. Wenn es sich geradeaus weiterbewegt, dann zur Zeit$t$es wird am Punkt sein$(1,t)$, eine Entfernung von$\sqrt{1+t^2}$. Die Taylor-Reihe dafür ist$1+\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...$.

Wenn wir definieren$\Delta$als Änderung des radialen Abstands,$\Delta = \sqrt{1+t^2}-1=1+\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...-1=\frac{t^2}2-\frac{t^4}{8}+\frac{t^6}{16}...$

Wenn wir die zweite Ableitung nehmen, um die Beschleunigung zu erhalten, erhalten wir$\frac {d^2 \Delta}{dt^2}=1-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$. Wenn wir eine Beschleunigung von hinzufügen$1$zur Mitte hin ist die Nettobeschleunigung$-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$

Da nehmen wir die Grenze als$t \rightarrow 0$, das geht auf null.

Der$1-\frac{3t^2}2+\frac {15t^4}{8}...$ist die Zentrifugalbeschleunigung (wobei "Beschleunigung" hier die zweite Ableitung der Entfernung bedeutet, nicht die zweite Ableitung des Ortes; da sich die Richtung der Entfernung ändert, sind das zwei verschiedene Dinge). Ohne Zentripetalkraft vergrößert sich der Abstand vom Zentrum, und im rotierenden Bezugssystem gibt es eine scheinbare Zentrifugalkraft. Wenn Sie die Zentripetalkraft einbeziehen, hebt sich die Zentripetalbeschleunigung mit der Zentrifugalbeschleunigung auf, und die momentane Nettobeschleunigung ist Null.

Wenn Sie mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis fahren, ändert sich die Geschwindigkeit. Geschwindigkeit ist Geschwindigkeit und Richtung. Richtungsänderung ist Geschwindigkeitsänderung. Geschwindigkeitsänderung ist Beschleunigung. Es braucht also Beschleunigung, um sich im Kreis zu bewegen. Von$F=ma$, das greift. Das nennt man Zentripetalkraft , die Kraft, die etwas in Rotation hält. In Richtung der Geschwindigkeitsänderung: zur Mitte hin.

Wenn Sie sich in dem drehenden Ding befinden, spüren Sie eine Kraft, die Sie von der Mitte wegzieht, als ob zusätzliche Schwerkraft. Das kreisende Ding ist ein „Trägheitsbezugssystem“ und beschleunigt sich. Die scheinbare Kraft, die von den Dingen im Drehrahmen gefühlt wird, wird Zentrifugalkraft genannt und wirkt direkt nach außen.

Das liegt daran, dass die Zentripetalkraft genau die Menge an Drehung ist, die für den Impulsvektor des Teilchens in einem Moment erforderlich ist, damit es im nächsten Moment tangential an der Bahn haftet.

Dies funktioniert für Einheitsgeschwindigkeit und Einheitsmasse, die Kraft ist genau gleich der Krümmung des Pfades.

Schon viele nützliche Antworten, aber...

Ich werde versuchen, das Thema Referenzrahmen zu behandeln.

Es gibt inertiale (nicht rotierende) Referenzsysteme und rotierende.

Welchen Rahmen wir auch immer betrachten, als hartnäckige Beobachter möchten wir, dass Objekte den Newtonschen Regeln gehorchen, dass sie sich ohne Kraft mit konstanter Geschwindigkeit in einer geraden Linie bewegen (oder als Sonderfall an einem Punkt bleiben) und dass jede Abweichung von der geraden Bewegung erfolgt verursacht durch eine Kraft, die auf das Objekt einwirkt.

In einem Inertialsystem gibt es kein Problem, alle Objekte folgen den Regeln. Wenn sich ein Objekt nicht in einer geraden Linie bewegt, gibt es eine echte Kraft, die es dazu bringt, seine Geschwindigkeit oder Richtung zu ändern. Eine Kreisbahn ergibt sich, wenn eine Kraft entsprechender Größe ständig auf die Mitte der Bahn wirkt.

Aber in einem rotierenden Rahmen zeigen Objekte ein seltsames Verhalten, wie das Kreisen um die Rahmenmitte oder spiralförmig nach innen und außen (obwohl sie von außen betrachtet einfach stillstehen oder sich in geraden Linien bewegen). Ein (naiver) Beobachter des rotierenden Rahmens folgert also, dass es Kräfte geben muss, die die Objekte herumschieben. Da dieser Effekt nur durch die seltsame Beobachtungsumgebung verursacht wird, nennen wir diese Kräfte Pseudokräfte, und die Zentrifugalkraft ist ein Sonderfall.

Betrachten wir nun das kreisende Objekt aus einem angepassten rotierenden Rahmen, der in der Mitte des Objektpfads zentriert ist und sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Objekt dreht. Für einen Beobachter in diesem Rahmen bewegt sich das Objekt nicht, was bedeutet, dass es ein Kräftegleichgewicht zu geben scheint. Der Beobachter versteht bereits, dass (Pseudo-)Kräfte wie die Zentrifugalkraft auf alle Objekte wirken. Um also das Objekt „stillstehen“ zu lassen, muss eine entgegengesetzte Kraft auf das Objekt einwirken, die Kraft, die „zentripetal“ genannt wird. Dies ist eine reale Kraft, die zB durch eine Schnur auf das Objekt oder durch Gravitation (im nicht-relativistischen Sinne) ausgeübt wird.

Aber das Objekt hätte in diesem Fall aufgrund der radial nach innen wirkenden Kraft näher an die Mitte gehen müssen

Ich gehe hier ganz anders vor. Warum sollte sich der Körper Ihrer Meinung nach näher an die COM bewegen, wenn er von einer konstanten Zentripetalkraft beeinflusst wird? Es folgt nicht. Werfen Sie einen Blick auf das erste Newtonsche Gesetz – es besagt, dass der Körper versucht, in Ruhe zu sein oder aufgrund von Trägheit eine konstante lineare Bewegung beibehält. Jemand muss also nur eine konstante Zentripetalkraft einführen, um das Objekt zum Lösen zu zwingenlineare Bewegung ständig, um seine Tangentialgeschwindigkeit zu ändern (Geschwindigkeit ist Größe UND Richtung!). Indem Sie also eine Zentripetalkraft anwenden, ändern Sie ständig die Richtung des Objekts und zwingen es so, auf derselben Umlaufbahn zu bleiben. Wenn Sie ein Objekt noch näher an sich ziehen möchten (stellen Sie sich vor, ein Spielzeug mit einem Seil über Ihrem Kopf zu drehen), müssen Sie eine noch größere Zentripetalkraft aufbringen, Sie werden sie erhöhen, um eine Umlaufbahn zu verkürzen.

Und letzte Worte – manchmal verschmelzen rotierende Objekte , überprüfen Sie binäre Neutronensterne . Die Gründe für diesen Effekt sind jedoch nicht vollständig bekannt und liegen wahrscheinlich außerhalb des Bereichs der Newtonschen Gravitation. Eine der Erklärungen dafür, warum mehrere Neutronensterne zu einem Stern verschmelzen, ist auf die starke Intensität der Gravitationswellen zurückzuführen, die diese Neutronensterne aussenden. Durch die Emission von Gravitationswellen verlieren Sterne Energie und werden dadurch in eine niedrigere Umlaufbahn gezwungen, bis es zum vollständigen Kollaps kommt. Aber wie gesagt, das braucht die Allgemeine Relativitätstheorie zur Erklärung.