Die Formel für die Krümmung verstehen

Es steht Ihnen frei, eine Formel für die Krümmung in jedem gewünschten Koordinatensystem und in Bezug auf jeden Parameter entlang der gewünschten Kurve abzuleiten. Zum Beispiel haben Sie wahrscheinlich auch eine Formel gesehen, die in Begriffen ausgedrückt wird$x$-Koordinatenparametrierung$(x,f(x))$, für die Krümmung des Graphen einer Funktion$y=f(x)$:

Vielleicht wäre stattdessen eine bessere Frage

Warum ist die Parametrisierung der Bogenlänge die primäre, die verwendet wird, um die Formel für die Krümmung auszudrücken?

Ich denke, die Antwort darauf ist einfach, dass die Parametrisierung der Bogenlänge aus geometrischer Sicht so natürlich ist: Sie kann nur mit der euklidischen Geometrie und einem einschränkenden Argument abgeleitet werden, wie Sie in einem echten Analysekurs lernen. Es könnte also das Erste sein, was ein Geometer über die Krümmung wissen möchte: Wie schreibt man eine Formel für die Krümmung auf, ausgedrückt in Form des Bogenlängenparameters?

Aber lassen Sie mich zwei noch bessere Fragen vorschlagen:

Gibt es eine von der Parametrisierung unabhängige Definition der Krümmung? Und kann man diese Definition verwenden, um eine Formel in Bezug auf die Bogenlängenparametrierung (oder in Bezug auf eine andere Parametrisierung) abzuleiten?

Es gibt tatsächlich eine nette Definition, die unabhängig von Parametern ist und drei Schritte hat:

1. Der Einheitskreis$S^1 = \{(x,y) \mid x^2+y^2=1\}$hat Krümmung$1$an jedem Punkt:
2. Die Krümmung variiert umgekehrt unter Ähnlichkeit: Angenommen$C$Und$C'$sind zwei Kurven so dass$C$ist ähnlich wie$C'$. Lassen$f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$sei eine Ähnlichkeitskarte, so dass$f(C)=C'$. Lassen$r>0$der Ähnlichkeitsfaktor sein, was bedeutet, dass$d(f(p),f(q)) = r d(p,q)$für alle$p,q \in \mathbb R^2$. Dann für alle$x \in C$mit entsprechendem Punkt$x' = f(x) \in C'$, die Krümmung von$C'$bei$x'$ist gleich$\frac{1}{r}$mal die Krümmung von$C$bei$x$. (Zum Beispiel kann man durch Kombinieren von 1 und 2 leicht beweisen, dass alle Radien$1$Kreise haben eine Krümmung$1$an jedem Punkt und allen Radien$r$Kreise haben Kuratur$1/r$an jedem Punkt.
3. Die Krümmung ist eine Invariante zweiter Ordnung: Für jede Kurve$C$Und$p \in C$, und für jeden Kreis$C' \subset \mathbb R$was passt$C$zu zweiter Ordnung an der Stelle$p$, die Krümmungen von$C$Und$C'$bei$p$gleich sind (dies ist die Bedingung des "Oskulationskreises", auf die im Kommentar von @Kajelad Bezug genommen wird).

Wenn man dies weiß, kann man die Parametrisierungsformel der Bogenlänge für die Krümmung und jede andere gewünschte Formel, wie die Formel für, beweisen$x$-Koordinatenparametrisierung zuvor gegeben.

Wir möchten, dass jede Definition der Krümmung intuitiv sinnvoll ist, wenn sie auf gerade Linien und Kreise angewendet wird, also sollte die Krümmung einer geraden Linie 0 sein und die Krümmung eines Kreises mit Radius$r$sollte sein$1/r$. Eine Möglichkeit, die Krümmung zu definieren, wäre dann, den "Tangentenkreis" (falls vorhanden) an jedem Punkt zu finden, dann wäre die Krümmung der Kehrwert des Radius dieses "Tangentenkreises". Es stellt sich heraus, dass die zur Ableitung des Tangentenkreises erforderlichen Gleichungen vereinfacht werden, wenn der Tangentenvektor an jedem Punkt der Kurve eine Länge hat$1$, was nur der Fall ist, wenn die Kurve über die Bogenlänge parametrisiert ist.

Lassen Sie uns einige Aspekte des Beitrags ansprechen und klären. Zunächst steht geschrieben:

"Ich denke, das ist keine ausreichende Erklärung, und es bedarf weiterer Erklärungen, um die Formel zu verdeutlichen."

Hoffentlich die geometrische Bedeutung der Formel$\kappa = \left\Vert \frac{dT}{ds} \right\Vert$ist klar:$\kappa$ist die infinitesimale Änderungsrate des Tangentenvektors pro Bogenlängeneinheit. Ich denke, das fängt die intuitive Vorstellung von "Krümmung" als "Richtungsänderung" ziemlich gut ein.

Aber die Frage des OP scheint eher in die Richtung zu gehen: „Warum ist das so?$\kappa = \left\Vert \frac{dT}{ds} \right\Vert$so grundlegend, wenn wir es anders hätten definieren können?" Das OP schreibt:

„Das hilft nicht wirklich, weil das andere Größen ausschließt, von denen wir abgeleitet haben könnten.“

Die Antwort darauf ist, dass es im Wesentlichen keine anderen Größen gibt, in Bezug auf die wir hätten differenzieren können. Mit anderen Worten, Kurven können hinsichtlich der Bogenlänge immer umparametriert werden$s$, und daher kann jede auf der Kurve definierte Funktion (oder Variable) als Bogenlänge ausgedrückt werden.

(Nebenbei und wie andere bereits erwähnt haben, gibt es andere (äquivalente) Definitionen der Krümmung$\kappa$da draußen, wie die Definition über oskulierende Kreise.)

Darüber hinaus hat das OP ein weiteres Anliegen und schreibt:

„[Ein] Problem bleibt für mich immer noch, wir definieren den Einheits-Tangentenvektor mithilfe von Parametrisierungen, sodass der Tangentenvektor an sich von einer Eigenschaft außerhalb der Kurve abhängig ist … Technisch gesehen besteht die Krümmung also nicht vollständig aus Eigenschaften, die der Kurve innewohnen. "

Hier ist es erwähnenswert, dass eine geometrische Größe, die "intrinsisch" oder "extrinsisch" ist, eine völlig andere Frage ist, als ob diese Größe parametrisierungsabhängig ist. Mit anderen Worten, es gibt zwei verschiedene Dinge, die mit „außerhalb der Kurve“ gemeint sein könnten. Man könnte meinen:

• (a) Der Einheits-Tangens-Vektor$T$ist abhängig von der Parametrisierung des Definitionsbereichs der Kurve --- was nicht stimmt (wenn man die Orientierung außer Acht lässt) --- oder
• (b) Der Einheits-Tangens-Vektor$T$ist eine extrinsische geometrische Größe (eher als eine intrinsische ), da ihre Definition von einer Parametrisierung abhängt. (Das ist wahr. Tatsächlich sind alle geometrischen Eigenschaften von Kurven extrinsisch. Oberflächen hingegen haben sowohl intrinsische als auch extrinsische geometrische Eigenschaften.)

Die verständlichste Erklärung fand ich auf Seite 98 von Tristan Needhams Buch Visual Differential Geometry:

Wenn eine Perle mit Einheitsmasse mit Einheitsgeschwindigkeit entlang eines Drahts in Form einer ebenen Kurve geschleudert wird, ist die Krümmung κ dieser Kurve die senkrecht zur Kurve gerichtete Kraft F, die von dem Draht auf die Perle ausgeübt wird.

Und wow! Jetzt macht alles Sinn! Als praktisches Beispiel schaue zurück auf die zentripetale Gleichungsformel für den Kreis

Wenn wir abfahren$\vec{T}(t)$Zu$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, anstatt herauszufinden, wie schnell der "Richtungsvektor"$($oder$\vec{T}(t))$sich im Vergleich zu vorher ändern wird, was wir wollen, findet heraus, wie schnell sich der Richtungsvektor im Vergleich zu dem ständig zunehmenden ändern wird$t$Wert, was wir für eine lokale Richtungsänderung nicht wollen. Zum Beispiel in einer schnell abfallenden Steigung in einer Funktion$(t,f(t))$, wenn wir die Änderung von vornehmen$\vec{T}(t)$Zu$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, die Piste geht schneller vorbei, weil die$t$ist grundsätzlich$x$. Da nehmen wir jedoch$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, finden wir "wie schnell sich die Richtung im Laufe der Zeit ändert" statt "wie schnell sich die Richtung ändert, wenn wir den Bogen verlängern". In unserer schnell abnehmenden Funktion überspannt die Zeit zu viel des Bogens. Wenn wir haben$||\frac{d\vec{T}(t)}{dS}||$, das muss man sich merken$dS$Teil selbst ist der Bogenlängenbetrag größer als$dt$.