Hauttiefe; EM-Welle und Wechselstrom

Diese Definitionen scheinen zwei unterschiedliche Geometrien zu implizieren: Im ersten Fall fließt Wechselstrom in einem Leiter (der z. B. zylindrisch sein kann), im zweiten Fall fällt eine elektromagnetische Welle auf eine Oberfläche eines Leiters (welche Oberfläche sein kann , zB flach). Wie hängen diese Definitionen zusammen? Denken Sie daran, dass zwischen dem elektrischen Feld die folgende Beziehung besteht$E$und Stromdichte$j$bei einem Dirigenten:$j=\sigma E$, Wo$\sigma$ist die Leitfähigkeit des Leiters. Wenn daher das elektrische Feld den Leiter bis zur Hauttiefe durchdringt, dringt der Strom auch bis zur gleichen Tiefe in den Leiter ein. Spezifische Tiefen, in denen sich das Feld oder die Stromdichte befindet$1/e$ihrer Größen auf der Oberfläche des Leiters können in den beiden unterschiedlichen Geometrien etwas unterschiedlich sein, aber sie liegen in der gleichen Größenordnung, sodass diese Definitionen ziemlich konsistent sind.

Die Definition der Hauttiefe wird hauptsächlich auf leitfähige Medien angewendet und ist, wie Sie sagten, die Entfernung, die die Welle in einem Medium zurücklegen muss, um einen Zerfall zu erfahren$1/e$. Dieser Abfall ist darauf zurückzuführen, dass das Medium verlustbehaftet ist.

Die Tatsache, dass dieses Medium verlustbehaftet ist, impliziert, dass die Ausbreitungskonstante der Welle komplex wird und dieser Verlust mit dem Wert der Leitfähigkeit zusammenhängt. Der Prozess zum Erhalten der Beziehung wird in Kapitel 1 des Buches „Microwave Engineering“ von David erklärt. M. Pozar.:

Zuerst erhalten wir die Wellengleichung oder Helmholtz-Gleichung aus den Maxwell-Gleichungen unter der Annahme einer harmonischen (Kosinus- und Sinus-Abhängigkeit) Zeitabhängigkeit:

Faradaysches Induktionsgesetz: $\nabla$X$\vec{E} = -j\omega\mu\vec{H} \space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.1)$

Amperes Gesetz: $\nabla$X$\vec{H} = j\omega\epsilon\vec{E} +\sigma\vec{E}$ $\space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.2)$

wobei dieser letzte Begriff entspricht$\vec{J}=\sigma\vec{E}$, die Oberflächenstromdichte.

Hier ist j die imaginäre Zahl$\sqrt{-1}$Und$\omega$entspricht der Kreisfrequenz$(2\pi f)$.$\mu$Und$\epsilon$entsprechen der magnetischen Permeabilität und der Dielektrizitätskonstante des Mediums.

Diese Gleichungen besagen in ihrer grundlegendsten und einfachsten Bedeutung, dass eine zeitliche Änderung eines Magnetfelds ein elektrisches Feld erzeugt und dass eine zeitliche Änderung eines elektrischen Felds und/oder das Vorhandensein einer elektrischen Stromoberfläche ein magnetisches Feld erzeugt.

Durch Anwendung einiger vektormathematischer Identitäten erhalten wir die Wellengleichung für das E-Feld:

$\nabla^2 \vec{E} + \omega^2\mu\epsilon(1-j\sigma/(\omega\epsilon))\vec{E} = 0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.3)$

Wenn wir die Definition der Helmholtz-Gleichung für eine generische Vektorwelle überprüfen$\vec{A}$,

$\nabla^2 \vec{A} + k^2\vec{A} = 0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.4)$

Wir sehen, dass unsere Ausdrücke sehr ähnlich sind und dass wir eine Ausbreitungskonstante mit dem Namen definieren könnten$\gamma$(entspricht k im Ausdruck der Helmholtz-Gleichung), die einen Realteil haben wird$\alpha$, genannt Dämpfungskonstante und Imaginärteil$\beta$, die Phasenkonstante.

$\gamma=\alpha+j\beta\space = \omega\sqrt{\mu\epsilon}\sqrt{(1-j\sigma/(\omega\epsilon))} \space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.5)$

Bei der Definition der Skin-Tiefe sprachen wir von einem Leistungsabfall, dh einer Dämpfung. Tatsächlich können wir leicht überprüfen, ob die Hauttiefe (die wir von nun an nennen werden$\delta_s$) entspricht dem Kehrwert der Dämpfungskonstante

$\delta_s=1/\alpha \space\space\space\space\space\space\space\space\space(Eq.6)$

Schließlich, angesichts dessen$\alpha$ist der Realteil der Ausbreitungskonstante$\gamma$, können wir den Ausdruck der Skin-Tiefe extrahieren, indem wir den Realteil von Gl. 5 und unter der Annahme, dass, da das Medium ein Leiter ist,$\sigma>>\omega\epsilon$.

$\delta_s = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$, was übrigens eine in Metern gemessene Entfernung ist (obwohl die sehr niedrigen Werte bei hohen Frequenzen Sie davon überzeugen könnten, Millimeter oder sogar Mikrometer zu verwenden)

Hier sehen Sie, dass dieser Parameter mit der Leitfähigkeit des Mediums zusammenhängt. Definitionsgemäß gibt Ihnen dieser Parameter den Abstand an, bei dem der Abfall des elektrischen Felds 1/e ~37 % beträgt. Dieses elektrische Feld steht in Beziehung zum Oberflächenstrom, wie in Gleichung 2 zu sehen ist. Da es sich um eine lineare proportionale Beziehung handelt, können wir feststellen, dass dieser 37-prozentige Abfall des elektrischen Felds auch einen 37-prozentigen Abfall der Oberflächenströme impliziert.

Ich habe gesehen, dass Sie in einem Kommentar gefragt haben, ob dieses elektrische Feld auf eine externe Welle zurückzuführen ist. Wie @akhmeteli dir gesagt hat, nicht unbedingt. Wenn Sie die Gleichungen E1. 1 und Gl. 2 sehen Sie, dass das Vorhandensein eines Stroms mit der Anregung elektromagnetischer Wellen aufgrund dieses Stroms zusammenhängt.

ich hoffe das hilft