Herleitung der Bewegungsgleichung für mechanische Seismographen

Stellen Sie sich einen einfachen Seismographen vor, der aus einer Masse besteht$M$hing an einer Feder an einem starren Rahmen, der an der Erde befestigt war, wie auf dem Bild gezeigt.

Die Bewegung der Masse wird offenbar durch die Gleichung beschrieben

$$\frac{d^2y}{dt^2}+\gamma\frac{dy}{dt}+\omega_o^2y=-\frac{d^2\eta}{dt^2} \tag{1}$$

Wo$y$wird verwendet, um die Verschiebung von zu bezeichnen$M$relativ zur Erde und$\eta$um die Verschiebung der Erdoberfläche selbst zu bezeichnen. Ich möchte wissen, wie man diese Gleichung herleitet.

Ich weiß, dass gedämpfte Schwingungen beschrieben werden durch

$$\frac{d^2y}{dt^2}+\gamma\frac{dy}{dt}+\omega_o^2y=0 \tag{2}$$ und dass die Schwingungen der Erdoberfläche als äußere Kraft auf das System wirken (ersetzen Sie das Gerüst, das die Feder hält, durch eine Hand). Daher wird die Gleichung $$\frac{d^2y}{dt^2}+\gamma\frac{dy}{dt}+\omega_o^2y=\frac{F_o}{M}cos(\omega t) \tag{3}$$ Daran erinnern $$M\frac{d^2\eta}{dt^2}=F_ocos(\omega t) \tag{4}$$ Ich bekomme eine endgültige Gleichung $$\frac{d^2y}{dt^2}+\gamma\frac{dy}{dt}+\omega_o^2y=\frac{d^2\eta}{dt^2} \tag{5}$$ Die Frage ist, wo ich das Zeichen für die verloren habe$\frac{d^2\eta}{dt^2}$Begriff?