Höchstgeschwindigkeit von Parker Solar Probe

Das ist nicht richtig:

Ist die Umlaufgeschwindigkeit nicht proportional zu$1/\sqrt{r}$?

Für eine keplersche elliptische Umlaufbahn mit konstanter Energie lautet die gesuchte Beziehung

$$\frac12 mv^2 - \frac{GMm}{r} = E = \mathrm{const}.$$ Umlaufgeschwindigkeit ist nur proportional zu $1/\sqrt{r}$Wenn $E=0$, dh für eine parabelförmige Umlaufbahn. Bei kreisförmigen und quasi-kreisförmigen Umlaufbahnen beträgt die gesamte Orbitalenergie ungefähr die Hälfte der potenziellen Energie (in der Größenordnung). Wenn Sie sie also weglassen, erhalten Sie einige sehr falsche Zahlen.

Für die elliptische Umlaufbahn der Parker Solar Probe sind die von Ihnen angegebenen Daten (eine Perihelgeschwindigkeit von$430,000\:\mathrm{mph} = 192\:\mathrm{km/s}$in einem Perihel von$6.9\:\rm Gm$) können Sie die spezifische Orbitalenergie berechnen als

$$\begin{align} \frac Em & = \frac12 v_0^2 - \frac{GM_\odot}{r_0} \\& \approx - 800 \: \rm km^2/s^2 \end{align}$$ und damit können Sie die Aphelgeschwindigkeit berechnen:

• in der wahren Aphelentfernung, im Venusorbitalradius von$r_1=108\:\rm Gm$, geben $$v_1 = \sqrt{2\left(E_0 + \frac{GM_\odot}{r_1}\right)} \approx 29 \:\rm km/s$$
• an einem (völlig falschen!) Aphel am Radius der Erdumlaufbahn, was eine Aphelgeschwindigkeit von ca$v_2\approx 13\:\rm km/s$.

Hier$v_1$ist ungefähr gleich der Umlaufgeschwindigkeit der Erde (aber bei einem viel niedrigeren Aphel).$v_2$(was einer völlig fiktiven Umlaufbahn entspricht, die möglicherweise überhaupt keinen Sinn ergibt) ist viel langsamer als das.

Außerdem ist es wichtig, sich ein wenig damit auseinanderzusetzen:

Die Erde ist etwa 94 Millionen Meilen vom Zentrum der Sonne entfernt. Daher sollte dieses Ding umkreisen$(94/5)^2$mal so schnell wie wir.

Das setzt voraus, dass die Sonde direkt zur Sonne fliegt und dann zum Radius der Erdumlaufbahn zurückkehrt, was nicht der geplante Orbit ist. Stattdessen beinhaltet die Umlaufbahn einen Venus-Vorbeiflug auf der ersten Umlaufbahn, der das Aphel drastisch absenkt und die Umlaufbahnenergie entzieht; Das zweite Aphel wird bei etwa 0,9 AE liegen und geht nur von dort aus über eine Reihe von Venus-Vorbeiflügen durch die Mission, die wiederholt Orbitenergie wegnehmen und sowohl das Perihel als auch das Aphel absenken:

^Bildquelle

^{Bildquelle Vorbeiflüge an der Venus als grüne Kreise markiert.}

Ist die Umlaufgeschwindigkeit nicht proportional zu$1/\sqrt r$?

Wie Emilio Pisanty in seiner Antwort erwähnte, ist dies die Geschwindigkeit eines Objekts auf einer parabolischen Flugbahn. Das erfordert eine ziemlich hohe Geschwindigkeit. Die Umlaufgeschwindigkeit sinkt auf$1/\sqrt{2r}$für ein Objekt auf einer Kreisbahn. Die allgemeine Regel für alle Arten von Umlaufbahnen im Zweikörperproblem ist durch die Vis-Viva- Gleichung gegeben:

$$v^2 = G(M_1+M_2)\left(\frac2r-\frac1a\right)$$ Wo $v$ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Gravitationsobjekten, $M_1$Und $M_2$sind ihre Masse, $r$ist der Abstand zwischen den Objekten, und $a$ist die Länge der großen Halbachse des Kegelschnitts (Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln). Beachten Sie, dass die Länge der großen Halbachse für eine Parabel unendlich und für eine Hyperbel negativ ist. Im Fall einer winzigen Masse wie der Parker-Raumsonde und einer großen Masse wie der Sonne reduziert sich dies auf $$v^2 = \mu_\odot\left(\frac2r-\frac1a\right)$$ Wo $\mu_\odot \equiv GM_\odot$ist der Standard-Gravitationsparameter der Sonne .

Die vis viva- Gleichung taucht so oft in der Orbitalmechanik auf, dass es sich lohnt, sich daran zu erinnern.

Nach mehrfacher Gravitationsunterstützung von der Venus wird die Perihelentfernung der Parker-Raumsonde h = 3,83 Millionen Meilen über der Sonnenoberfläche betragen, oder$r_\odot+h$aus dem Zentrum der Sonne. Die Entfernung zum Aphel wird etwas darüber liegen$R_v$, Umlaufbahnradius der Venus. Die große Halbachsenlänge der Umlaufbahn ist somit$(R_v+r_s+h)/2$, und die Geschwindigkeit am Perihel ist

$$v_p = \sqrt{\mu_\odot \left(\frac2{r_\odot+h} - \frac2{R_v+r_\odot+h}\right)} = \sqrt{\frac{2\mu_\odot}{R_v+r_\odot+h}\frac{R_v}{r_\odot+h}}$$

Man könnte sich die Mühe machen, den Radius der Sonne nachzuschlagen ($695700\, \text{km}$) und Gravitationsparameter ($132712440018\,\mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2$), Umlaufradius der Venus ($108208930\,\text{km}$) und die Umwandlung von 3,83 Millionen Meilen in etwas Vernünftiges ($6164000\,\mathrm{km}$), kommen mit Hilfe eines netten Online-Rechners auf eine Antwort von 190,8 km/s .

Aber warum sich die Mühe machen? Der verlinkte Online-Rechner ist ziemlich schlau. Es kann diese langweiligen Sachen machen. Sag ihm einfach, was du willst .