Ein Teilchen ist durch einen starren Stab mit einem massiven Rad verbunden. Das Rad kann rutschfrei auf einer horizontalen Fläche rollen. Das Teilchen kann sich frei um den Mittelpunkt des Rades drehen.
Ich glaube, das System hat zwei Freiheitsgrade: Der Mittelpunkt des Rads und das Teilchen haben jeweils x- und y-Positionen, und das Rad hat einen Drehwinkel. Die Einschränkungen sind:
Ist das richtig?
Dies hinterlässt zwei verallgemeinerte Koordinaten, die ich als den Drehwinkel des Rads und den Winkel zwischen der Stange und der y-Achse angenommen habe.
Nachdem ich mit einem Newtonschen Ansatz gekämpft (und gescheitert) war, konstruierte ich einen Lagrange-Operator für das System und wandte die Euler-Lagrange-Gleichung(en) an, wobei ich die Winkel als verallgemeinerte Koordinaten verwendete. Nach viel Algebra tauchten zwei nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf.
Zu meiner Überraschung konnte ich die Raddrehung vollständig aus einer Gleichung eliminieren, so dass sie nur den Stangenwinkel und seine Ableitungen betrifft. Welche Bedeutung hat das, wenn überhaupt?
Und schließlich möchte ich die Situation rechnerisch simulieren. Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, starre Beschränkungen zu simulieren, die auf starre Körper / Teilchen wirken, oder muss man die Differentialgleichungen finden und (numerisch) lösen, die das System bestimmen?
Ein Einrad, das darauf beschränkt ist, sich auf einer Ebene in drei Dimensionen zu bewegen, ist ein Beispiel für ein nichtholonomes mechanisches System, bei dem die Nichtrutschbeschränkungen nicht integriert werden können.
Außerdem ist es interessanter, dem Fahrer Freiheitsgrade zu geben, um ihm die Kontrolle über das Einrad zu ermöglichen. Dieser allgemeinere Fall wurde behandelt von: Zenkov Bloch und Marsden . In dieser allgemeineren Behandlung ist das Einrad nicht auf die Vertikalität beschränkt und der "Fahrer" wird als runde Scheibe modelliert, deren Drehwinkel als Steuerung verwendet wird.
Die Autoren schreiben die Lagrange-Funktion ausdrücklich, und es ist nicht schwierig, sie auf den eingeschränkten Fall der linearen Bewegung in der vertikalen Ebene zu degenerieren, wenn man dies wünscht.
Zenkov Bloch und Marsden beschreiben in ihrer Arbeit ein Verfahren zur Stabilisierung des Systems durch Steuerung des Rotationswinkels des Fahrers.
Die Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme sind Systeme nichtlinearer GDEs, die selten exakte Lösungen haben. Man kann jedoch viel über die physikalischen Systeme lernen, ohne die Gleichungen tatsächlich zu lösen. Die Steuerregel wurde im obigen Artikel abgeleitet, ohne das System tatsächlich zu lösen. Siehe zum Beispiel die folgenden Vorlesungsunterlagen von Darryl Holm.
Die Bedeutung der Trennbarkeit der Differentialgleichungen ist einfach:
Die Schwierigkeit, ein Einrad in 2D zu balancieren, ist unabhängig davon, wie schnell Sie fahren. (In 3D muss man auch seitlich balancieren, und nur dort ist die Radgeschwindigkeit praktisch).
In Bezug auf die Simulation sind mir keine kostenlosen, guten mechanischen Simulationswerkzeuge bekannt, aber das Lösen der Differentialgleichungen sollte nicht schwierig sein - Sie könnten zuerst versuchen, zu sehen, ob es eine analytische Lösung gibt, und wenn nicht, die vielen verfügbaren verwenden Tools zum Lösen von ODEs.
John Alexiou
xAußerdem würde ich die Koordinate der Radmitte und den Winkel der Stange als die beiden Gen wählen . Koordinaten, aber ich denke, es spielt keine Rolle.