Leite das Drehmoment τ=r×Fτ=r×F\tau = \mathbf{r} \times \mathbf{F} aus τ=Iατ=Iα\tau= I\alpha ab

Das stimmt nicht immer$\vec{\boldsymbol{\tau}}=I\vec{\boldsymbol{\alpha}}$. Die allgemeine Form des Drehmoments ist

$$\vec{\boldsymbol{\tau}}=\dfrac{d}{dt}\vec{\boldsymbol{L}}$$ Aus der Definition des Drehimpulses $$\vec{\boldsymbol{L}}=\vec{\boldsymbol{r}}\times \vec{\boldsymbol{p}}$$ gibt $$\begin{align*} \vec{\boldsymbol{\tau}}&=\dfrac{d}{dt}(\vec{\boldsymbol{r}}\times \vec{\boldsymbol{p}})\\ \vec{\boldsymbol{\tau}}&=\vec{\boldsymbol{r}}\times \dfrac{d\vec{\boldsymbol{p}}}{dt}\\ \end{align*}$$ und aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz $$\vec{\boldsymbol{F}}=\dfrac{d}{dt}\vec{\boldsymbol{p}}$$ Dann $$\vec{\boldsymbol{\tau}}=\vec{\boldsymbol{r}}\times\vec{\boldsymbol{F}}\;\blacksquare$$

Kontext

Wenn wir expliziter wären, definieren wir das Drehmoment über einen bestimmten Ursprung$\mathrm{O}$Um diesen Ursprung herum können wir ein Trägheitselement eines Massenelements umschreiben als:

$$\Delta I_{i} = |\vec{r_i}|^2 \Delta m_i$$

Wo,

$$\Delta I_i \text{ is the inertia of the mass element}$$

$$\Delta{\vec{r_i}} \text{ is the magnitude of position vector from the defined origin O}$$

$$\Delta{ m_i} \text{ is the mass element we are considering}$$

Obwohl wir die Definition der Trägheit nicht direkt auf das gesamte System anwenden können, können wir die Definition für eine Punktmasse durchaus auf ein kleines Massenelement anwenden. Wir können uns vorstellen, das Massenelement so zu verkleinern, dass die gesamte Masse in einem Bereich konzentriert wird, der klein genug ist, dass wir ihn annähern können.

Besser noch, ein intelligenterer Weg wäre, diesen Ausdruck mit Dichte zu schreiben. Angenommen, wir haben ein Objekt mit unterschiedlicher Dichte$\rho$was davon abhängt$(x,y,z)$dann können wir sagen, dass die Masse dieses Elements in einem n-Volumen um den Untersuchungsbereich herum gegeben ist durch$\rho \Delta V_i$(*). Dies bringt unsere Gleichung in diese Form:

$$\Delta I_i = |r_i|^2 \rho(x,y,z) \Delta V_i$$

Nun können wir uns bei einem gegebenen starren Körper vorstellen, ihn in kleine n-Volumen-Elemente zu unterteilen$\Delta V_i$und die Trägheit von jedem zu finden und darüber zu summieren. Wir können also über alle n-Volumen-Elemente summieren, indem wir ein n-dimensionales Integral (**) verwenden.

$$I = \int |r_i|^2 \rho(x,y,z) \Delta V_i$$

Das Problem in deinem Beitrag:

Bei der zweiten Methode hatten Sie einen Schritt, in dem Sie Folgendes getan hatten:

$$|r_i|^2 = \vec{r_i} \cdot \vec{r_i}$$

Und du hattest geschrieben als:

$$I = \int \vec{r} \cdot \left[ \vec{r_i} \rho(x,y,z) \Delta V_i \right]$$

Und die obige Menge nach Teilen integriert, aber wenn Sie dies tun, integrieren Sie ein Vektorfeld ($\int \vec{r} \Delta V_i$) über ein Volumen. Diese Operation ergibt keinen Sinn nach der Mathematik, die ich kenne / durch Googeln finden kann. Das nächste, was ich gefunden habe, war dieser Quora-Beitrag .

---

Verweise:

Für eine gute Erklärung, wie man dies im Detail herleiten kann, siehe Kleppner und Kolenkow um Seite 245

Hinweis: n-Volumen ist die Art der Verallgemeinerung des Volumens

HINWEIS:

Radialkraft auf einen Punkt:m.$\omega^2$R

Tangentialkraft darauf: mr$\alpha$(Drehmoment dadurch :m.$r^2.\alpha$)

Summe über alle Teilchen für das Drehmoment.

$\tau^{net}=\sum[...]=I.\alpha$

Überlegen Sie, ob die Radialkraft ein Drehmoment liefert oder nicht.