Impulserhaltung in einer Newtonwiege bei unelastischen Stößen

Ich denke nicht, dass dies eine schlechte Frage ist - ich verstehe die Ablehnungen nicht. Probleme wie diese haben mich früher auch verwirrt, und ich habe nicht das Gefühl, dass die Kommentare oder Antworten bisher wirklich auf den Grund des Problems gekommen sind.

Lass uns ein wenig über dein Setup nachdenken. Sie haben ein Newton-Wiegenspielzeug in einem Vakuum, also ist es vom Luftwiderstand isoliert. Aber Sie haben immer noch die Schwerkraft, die darauf wirkt, was bedeutet, dass es auf einer Oberfläche ruhen muss. Sie haben nicht angegeben, ob diese Oberfläche reibungsfrei ist oder nicht, also werde ich beide Fälle behandeln.

Fall 1: Die Wiege steht auf einer reibungsfreien Oberfläche

In diesem Fall haben Sie eine Massekugel$0.1\,\mathrm{kg}$bewegt sich an$1\,\mathrm{ms}^{-1}$, die auf ein Massenobjekt trifft$0.4\,\mathrm{kg}$bewegt sich an$0\,\mathrm{ms}^{-1}$, nämlich die verbleibenden vier Kugeln. Beim Aufprall wird eine geringe Energiemenge in Wärme umgewandelt, wodurch die 5. Kugel mit einer Geschwindigkeit von$(1-\varepsilon)\,\mathrm{ms}^{-1}$, Wo$\varepsilon$ist eine kleine Zahl. Damit der Impuls erhalten bleibt, bedeutet dies, dass die verbleibenden vier Kugeln nicht vollständig stationär sind, sondern sich stattdessen mit einer Geschwindigkeit von etwa bewegen$\varepsilon/4 \,\mathrm{ms}^{-1}$in die gleiche Richtung wie der ursprüngliche Ball. (Wir sollten uns wirklich Gedanken über die Masse des Rahmens und die Dynamik der Saiten usw. machen, aber ich werde das alles ignorieren.)

Dies wird wiederholt geschehen, bis die Kugeln relativ zueinander zur Ruhe kommen. An diesem Punkt hat das kombinierte System aus 5 Kugeln den Impuls der ursprünglichen Kugel im Moment der ersten Kollision, was bedeutet, dass das gesamte System zur Ruhe kommt wird mit einer Rate von gleiten$1/5 \,\mathrm{ms}^{-1}$entlang der glatten Oberfläche.

Fall 2: Die Oberfläche hat Reibung.

Nehmen wir nun an, die Reibung ist hoch genug, dass sich die Wiege nicht relativ zu der Oberfläche bewegt, auf der sie sitzt. In diesem Fall kollidiert der Ball mit einem Objekt, das aus den vier Bällen, dem Rahmen, der Oberfläche, an der er befestigt ist, und dem daran befestigten Planeten besteht. Sobald die Kugeln zur Ruhe gekommen sind, wird die gesamte Erde ein wenig mehr Schwung haben, aber da ihre Masse so hoch ist, machen wir uns normalerweise nicht die Mühe, dies zu berücksichtigen. Wenn wir also eine unelastische Kollision mit einem stationären Objekt haben, behandeln wir den Impuls im Allgemeinen einfach so, als würde er durch diese Kollision nicht erhalten.

Die tatsächliche Dynamik ist natürlich komplizierter. Das Momentum wird zuerst von der Bewegung auf die anderen vier Kugeln auf die gleiche Weise wie oben beschrieben übertragen, dann wird es auf den Rahmen übertragen, dann auf den lokalen Bereich der Erdkruste, wo es eine Weile lang als seismische Wellen nachhallt, bevor es schließlich kommt gleichmäßig über den ganzen Planeten verteilt werden.

Ich denke, um Ihr Missverständnis zu verstehen, müssen wir die Bedingungen für die Erhaltung des Impulses berücksichtigen: Der Impuls bleibt erhalten, solange keine äußere Nettokraft auf das betreffende System einwirkt. Betrachtet man den einfachen Fall im Vakuum, so wirkt sogar Reibung zwischen Kugeln oder zwischen den Saiten und dem Pfosten. Es kann sogar andere Kräfte geben, die hier nicht aufgeführt sind und an die Sie denken könnten. Aber im Grunde ist das Momentum in diesem Fall nicht konserviert: weil es nicht ideal ist. Daher wird Energie als Wärme oder Schall abgeführt (wenn wir ein Medium einführen), wodurch die Kugeln Energie und damit Geschwindigkeit / linearen Impuls verlieren.

Vereinfachen wir etwas mehr. Angenommen, es gibt nur zwei Kugeln und sie bestehen aus nassem Ton. Eine Kugel schwingt zur anderen und bleibt haften - völlig unelastisch.

Wahrscheinlich haben Sie solche Kollisionen bereits ausgerechnet. Der Impuls bleibt erhalten, die kinetische Energie nicht. Beide Kugeln haben danach die gleiche Geschwindigkeit. Das Ergebnis ist die Geschwindigkeit ist$0.5$MS. Die Dynamik ist die gleiche wie zuvor. Die Hälfte der kinetischen Energie wurde in Wärme umgewandelt und die andere Hälfte bleibt als kinetische Energie übrig. Der Endzustand ist, dass beide Kugeln gemeinsam hin und her schwingen.

Für die$5$Stahlkugeln, die nach und nach kinetische Energie verlieren, wird der Endzustand auch so ähnlich sein. Alle$5$Kugeln, die zusammen hin und her schwingen.

Das könnte man experimentell zeigen, indem man zwei Kugeln in der Mitte mit einem ganz kleinen Stück Kaugummi zusammenklebt. Normalerweise sind die Kugeln wie extrem steife Federn. Sie verformen sich leicht und drücken auf die nächste Kugel. Es ist eine so kleine und schnelle Verformung, dass Sie es nicht sehen können. Aber Kaugummi würde sich verformen und einen Teil dieser Energie in Wärme umwandeln.

Anders sieht es aus, wenn man die Luftreibung betrachtet. Jetzt sind die Kräfte nicht alle zwischen den Kugeln. Luft befindet sich außerhalb des Systems. Die Bälle drücken Luft herum und werden langsamer. Luft beschleunigt und trägt Energie und Schwung weg. Wir zählen das Momentum außerhalb des Systems nicht. Wir sehen, dass der Impuls und die kinetische Energie des Systems abnehmen. Es wird im System nicht konserviert, da das System nicht isoliert ist. Irgendwann würden alle Bälle aufhören.

Natürlich können Sie jederzeit ein größeres System wählen, das die Luft zählt. Sie müssen vielleicht daran arbeiten, aber Sie stecken das Ganze in eine Rakete im Weltraum, wo draußen keine Luft ist. In diesem Fall hätten Sie wieder ein isoliertes System. Wenn Sie den Impuls der Kugeln und der Luft und anderer Raketenteile addieren, würden Sie feststellen, dass der Impuls erhalten bleibt. Der Endzustand dieses Systems ist, dass die Bälle gestoppt sind und die Luft aufgehört hat, herumzublasen. Die gesamte Bewegungsenergie wird in Wärme umgewandelt.

Der Impuls wird in dieser Rakete konserviert. Wenn die Kugeln hin und her schwingen, würde sich die ganze Rakete ein wenig in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Der Gesamtimpuls ändert sich nicht.

Sie scheinen die Tatsache abzulehnen, dass die Erhaltung des Impulses die Erhaltung des Impulsvektors bedeutet. Betrachtet man den Anfangszustand kurz vor dem ersten Stoß, so beträgt der Anfangsimpuls auf der linken Seite 0,1 kg m/s in horizontaler Richtung nach rechts. Sobald die letzte Kugel rechts nach oben wandert, ist der Schwung bereits verändert. Sie ändert sich sowohl in der Größe, wobei sie auf Null abnimmt, als auch in der Richtung, wobei sie eine vertikale Komponente erhält. Dann gibt es einen Punkt, an dem sein Impuls Null ist, und dann kehrt sich die Bewegung um. Sie haben also eine kontinuierliche Änderung des Impulses, lange bevor Sie die Auswirkungen von Reibung oder anderen dissipativen Effekten sehen. Warum bleibt der Impuls nicht erhalten? Die Bedingung für die Erhaltung ist, keine äußeren Kräfte zu haben, und dies ist hier nicht der Fall. Sie können nur Erhaltung erwarten, wenn Sie die Zustände unmittelbar vor dem Stoß und unmittelbar nach dem Stoß zwischen zwei Kugeln nehmen. Oder schon vor dem ersten Aufprall und kurz bevor die letzte Kugel aufsteigt. Aber danach wirken die Spannung in der Saite und die Schwerkraft, um den Impuls zu ändern.