Widerspruch zwischen Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz?

Gestern, als ich eine einfache Frage studierte, kam mir ein ziemlich seltsamer Zweifel in den Sinn:

Stellen Sie sich eine Massekugel vor m mit Geschwindigkeit bewegen v der in einem vollkommen elastischen Stoß auf eine Wand trifft und mit derselben Geschwindigkeit zurückprallt. Nimmt man die Richtung der Anfangsbewegung des Balls als positiv an, so ist die Impulsänderung des Balls − 2 m v und die Wand ist eindeutig in Ruhe.

Um also dem Gesetz der Impulserhaltung zu gehorchen, muss die Wand einen Impuls von gewinnen 2 m v .

Nun, das selbst verwirrte mich sehr. Ich habe dann das Gesetz der Erhaltung der kinetischen Energie auf diese Situation angewendet, und offensichtlich sind die Größen der Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Balls gleich, also bleibt die kinetische Energie des Balls erhalten und daher muss die endgültige kinetische Energie der Wand Null sein um Energie zu sparen.

Dies widerspricht nun dem Impulserhaltungssatz, der besagt, dass die Wand an Impuls gewinnen muss 2 m v .

Noch ein Punkt: Wenn wir von einer Mauer sprechen, dann ist es eine wichtige Tatsache, die berücksichtigt werden muss, dass die Mauer auf der Erde befestigt ist und somit die Masse der Mauer etwa der der Erde entspricht M . Wendet man nun den Impulserhaltungssatz an, so erhält man etwa die Geschwindigkeit der Wand v = 2 m v / M was zweifellos ein extrem kleiner Wert ist. Aber der Energieerhaltungssatz besagt strikt, dass die Geschwindigkeit der Wand genau Null sein muss, nicht einmal der kleinste Wert ist erlaubt (theoretisch gesprochen).

Bitte klären Sie dies und korrigieren Sie mich irgendwo, wenn ich falsch liege. Ich habe mein Bestes versucht, um klarzustellen, was ich fragen möchte :).

"Eindeutig sind die Größen der Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Balls gleich" Denken Sie noch einmal nach.
@garyp ja, was für eine sachlich falsche Aussage. Das ist, als würde man a sagen 10 m / s Boost auf ein Objekt, das bereits unterwegs ist 10 m / s würde es auf Reisen genau belassen 20 m / s . Welcher normale und vernünftige Mensch würde jemals eine solche Aussage machen? (sagte er und versuchte, offensichtlichen Sarkasmus darzustellen, scheiterte aber möglicherweise kläglich)
@Jim Der Sarkasmus ist klar, aber das Ziel ist es nicht. Wenn ich das Ziel bin, nehme ich keinen Anstoß, aber ich werde darauf hinweisen, dass das OP eine inkonsistente Reihe von Bedingungen vorgelegt hat.
"Ich habe dann das Gesetz der Erhaltung der kinetischen Energie angewendet." Es gibt kein solches Gesetz.
@garyp kein Ziel. Es ist ein gültiger Punkt, den Sie gemacht haben, der tatsächlich meinem Vergleich entsprach. Und es stimmt auch, dass die meisten Menschen meine Beispielaussage rational sagen würden. Der Sarkasmus soll zeigen, dass, obwohl es technisch falsch ist, niemand etwas dagegen hätte, diese Art von Aussage zu sagen
FWIW, das ist im Grunde dasselbe wie diese andere Frage .
@BillN bei einer perfekt elastischen Kollision bleibt KE erhalten. Das meinte ich!!
@ Jim 20 m / s ? Sicher nicht! Das ist mehr als 2,2253E-14 m / s zu schnell. :)
KE des Systems Kugel+Wand(+Erde und alles...) bleibt erhalten. Warum nur den Ball berücksichtigen? Die Größen der Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Balls sind also nicht gleich
@PM2Ring Ich weiß, es ist eine Farce
Für diese Art von Fragen ist der folgende gute Ansatz: Gehen Sie NICHT davon aus, dass eine Größe in Bezug auf eine andere vernachlässigbar ist (Sie könnten hier das Gefühl haben, dass dies die Quelle der Verwirrung war). Formulieren Sie Ihr Problem in diesem Fall als elastisches Band zweier Kugeln um, von denen eine anfangs ruht. Das kannst du ganz einfach mit dem Energie- und Impulserhaltungssatz lösen. Machen Sie dann die Masse der zweiten Kugel sehr groß und sehen Sie, was passiert. Ich denke, diese Denkweise gibt Ihnen die Lösung, ohne tatsächlich eine Berechnung durchzuführen.
@ user375072 Dies passiert nur, wenn Sie Ihre Wand nehmen, um eine unendliche Masse zu haben, sonst beginnt sich Ihre Wand zu bewegen.

Antworten (4)

Aber das Gesetz der Energieerhaltung besagt streng, dass die Geschwindigkeit der Wand genau Null sein muss

Eigentlich nicht . Energie bleibt erhalten, ja, aber nichts muss Null sein, damit sie erhalten bleibt.

Der Fehler ist, dass Sie davon ausgehen , dass die Wand auch nach der Kollision stationär ist. Dies ist Ihre eigene Annahme, und wie Sie mit der Impulserhaltung deutlich zeigen, kann das nicht wahr sein.

Sie haben bereits erkannt, dass, wenn die ganze Erde in das Bild aufgenommen wird, das Impulserhaltungsgesetz insofern sinnvoll ist, als der Erde nach der Kollision eine winzige, winzige, winzige Geschwindigkeit gegeben wird. Wiederholen Sie jetzt die Energieeinsparungsüberlegungen unter diesem Gesichtspunkt - mit anderen Worten, wiederholen Sie die Energieberechnungen, ohne anzunehmen, dass die Wand / Erde stationär ist.

Tatsächlich ist die erfasste Erdgeschwindigkeit so gering, dass sie vernachlässigbar ist – deshalb wird sie normalerweise einfach als Null angenommen.

Wenn Sie den Ball zunächst von irgendwo auf der Erde starten, wird der winzigen, winzigen, winzigen Menge an Geschwindigkeit, die Sie der Erde hinzufügen, durch die winzige, winzige, winzige Menge an Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung entgegengewirkt wenn du den Ball gestartet hast.
@Amadeus9 Ja, aber das ist für die Berechnungen der Kollision zwischen Ball und Wand irrelevant.

Wenn der Ball die Wand trifft und zurückprallt, überträgt er einen Impuls von etwa 2 m b v b an die Wand. Die Wand ist am Fundament des Gebäudes befestigt, drückt sich also ebenfalls vom Gebäude ab und überträgt diesen Impuls auf das Gebäude. Das Gebäude ist fest mit der Erde verwurzelt und so wird dieser Impuls auf die Erde übertragen. Im Gegenzug akzeptiert die Erde den zusätzlichen Impuls und sagt: "Hah! So ein schwacher zusätzlicher Impuls. Ich werde Ihre erbärmlichen Versuche ignorieren, mich zu beeinflussen, wie Sie das Gewicht eines zusätzlichen Bakteriums auf Ihrer Hand ignorieren würden." Technisch gesehen erhöht sich die Geschwindigkeit der Erde so

∼ 2 m b v b = M E Δ v E
Was auch immer Masse und Geschwindigkeit des Balls sein mögen, die Masse der Erde ist es 5,97 × 10 24 k g , also ist das Delta-V der Erde im Grunde nichts. Denken Sie auch daran, dass es wahrscheinlich 10 Billiarden andere Dinge mit ähnlicher Masse gibt, die in alle Richtungen zum Impuls der Erde beitragen oder von ihm abnehmen. Es hebt sich auf (abgesehen davon, dass es vernachlässigbar ist).

Was die Energie betrifft, da kinetische Energie proportional zu ist v 2 und Impuls ist nur proportional zu v , ist die Änderung der gesamten kinetischen Energie der Erde aus dieser Wechselwirkung sogar geringer als die Änderung ihres Gesamtimpulses (wenn wir relative Prozentsätze messen, nicht absolute Zahlenwerte). Dies liegt einfach daran, wie begrenzt die Änderung der Geschwindigkeit der Erde durch ihre kolossale Masse war (sorry Erde, nicht einmal ein Drüsenproblem wird entschuldigen, wie fett Sie sind. Die Erde ist so fett, dass sie ihre eigene Anziehungskraft hat). Genau genommen ändert sich die kinetische Energie des Systems nicht, damit es sich um eine perfekt elastische Kollision handelt, was bedeutet, dass die Endgeschwindigkeit des Balls nicht genau ist − v . Lassen Sie uns einige der anfänglichen Berechnungen durchführen und Dinge wie den Drehimpuls ignorieren (das heißt, nehmen Sie an, dass der Ball senkrecht zur Erdoberfläche auftrifft). Nehmen wir außerdem an, dass die Anfangsgeschwindigkeit der Erde Null ist, und nennen wir die Anfangsgeschwindigkeit des Balls v und die Masse der Kugel m b = 1 k g .

− m b Δ v b = M E v E f
m b v 2 = m b v b f 2 + M E v E f 2

Fügen Sie hier etwas Razzmatazz-Algebra ein, fügen Sie dann etwas PVA-Kleber hinzu, und es sollte ungefähr so ​​​​aussehen:

v b f 2 + 1 5,97 × 10 24 Δ v b 2 = v 2

Da haben Sie es also. Die Endgeschwindigkeit des Balls kann mit dieser Gleichung gefunden werden. Da wir vernünftigerweise davon ausgehen, dass die Geschwindigkeitsänderung des Balls irgendwo in der Nähe liegt − 2 v , wird dieser zweite Term auf der linken Seite dieser Gleichung immer etwa 24 Größenordnungen kleiner sein als der erste Term. Was bedeutet das? Kein Taschenrechner, den Sie besitzen, noch die meisten computerbasierten Taschenrechner (außerhalb von explizit eingerichteten Programmen, die Sie genauso gut selbst schreiben könnten) werden genau genug sein, um den Unterschied zwischen der technisch genauen Endgeschwindigkeit des Balls und der, wenn Sie sagen, gerechten, aufzulösen v f = − v . Es ist auch nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass die Änderung der Geschwindigkeit der Erde etwa 24 Größenordnungen geringer ist als die Änderung der Geschwindigkeit des Balls.

Okay, zurück zum eigentlichen Punkt. Sie haben sich gefragt, wie Schwung und Energie wirklich erhalten bleiben. Nun, die Energie und der Impuls werden durch die Wand und in die Erde übertragen, die sie absorbiert. Die dadurch verursachte Geschwindigkeitsänderung auf der Erde ist jedoch so gering, dass sie praktisch nicht messbar ist. Was Sie am Ende sehen, ist, dass sich der Ball so verhält, als ob er von einem unbeweglichen Objekt abprallt. Die Wahrheit ist, dass die Änderung der Geschwindigkeit nicht genau ist − 2 v , aber ich verspreche Ihnen, dass jeder damit einverstanden sein wird, wenn Sie darauf runden möchten − 2 v .

Ich habe mich also geirrt, als ich dachte, dass die Endgeschwindigkeit der Erde genau Null ist, was nicht der Fall ist. Vielen Dank Jim, deine Erklärung war genau das, was ich brauchte :)
@ user375072 dafür bin ich hier
Ich bin ein wenig unscharf in Bezug auf Ihren Referenzrahmen. (Okay; bin ich nicht wirklich, aber ...) Wenn wir das Koordinatensystem auf die Erde fixieren, dann ist es zu einem Zeitpunkt nicht träge, aber zu allen anderen Zeiten träge. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit des Balls in diesem langsam zurückprallenden Rahmen? (Ich prognostiziere es − v .)
@EricTowers ja, − v . Mein Rahmen war jedoch der ursprüngliche Rahmen der Erde. Die Kollision mit dem Ball hat die Erde aus diesem Rahmen geschleudert, aber nicht ich (ich habe keine Angst vor keinem Schub)
In turn, Earth accepts the extra momentum and says "Hah! Such weak extra momentum. I shall ignore your pitiful attempts to affect me as you would ignore the weight of an extra bacteria on your hand".Ha! Nett.

Die Wand ist mit der Erde verbunden. Die Erde und die Wand erhalten einen Impuls von 2 mV, der so unbedeutend ist, dass seine Wirkung auf die Erde und die Wand praktisch nicht vorhanden ist.

Ich denke, Sie alle ignorieren die Tatsache, dass ein Teil der Energie des Balls beim Auftreffen auf die Wand in Wärme umgewandelt wird. Dies sollte in dieser Gleichung unbedingt berücksichtigt werden. (Ex-Physiklehrer)

Das vergessen wir nicht. Es ist eine vollkommen elastische Kollision, was per Definition bedeutet, dass die gesamte kinetische Energie erhalten bleibt. Wenn wir die Umwandlung von kinetischer Energie in Wärmeenergie berücksichtigen, wird der Stoß etwas anderes als vollkommen elastisch, was nicht im Sinne der Frage ist
Widerspruch zwischen Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz?
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