Ist die inelastische Stoßformel falsch?

Das geht in der Tat. Wir müssen jedoch vorsichtig sein, wie wir „aus der Perspektive eines Objekts“ definieren. Sie definieren verschiedene Frames, und Konvertierungen zwischen Frames können die Werte von Geschwindigkeiten ändern.

Die Schlüsselfrage ist, was mit den Rahmen bei der Kollision passiert. Wenn der Rahmen den Weg weitergeht, den m1 oder m2 genommen hätten, dann werden Sie feststellen, dass die Geschwindigkeiten in den beiden Rahmen gleich sind. Wenn Sie jedoch „aus der Perspektive des Objekts“ bleiben und somit mit ihm verschmolzen bleiben, haben Sie einen beschleunigten Rahmen. Diese verhalten sich sehr unterschiedlich und können den Wert einer Geschwindigkeit vom erwarteten Wert ändern.

Die einfachste Geschichte ist, wenn wir die Frames weiter entlang des Pfades des Objekts bewegen lassen, wenn keine Kollision aufgetreten ist. Wir definieren den Frame f1 als einen Frame, der der ursprünglichen Flugbahn von Objekt 1 folgt, und f2 als den Frame, der der ursprünglichen Flugbahn von Objekt 2 folgt. So können wir sagen$v_{1,f1}=0$Und$v_{2,f2}=0$. Das Einbeziehen der Indizes in diese Geschwindigkeiten ist wichtig, da wir so das Problem, das Sie gesehen haben, entwirren können.

Somit schreiben wir nun Ihre beiden Gleichungen als

$$m_1v_{1,f1} + m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} + m_2v_{2,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Wie Sie bemerkt haben, ruhen die Objekte in dem Rahmen, der ihrer Flugbahn folgt, also vereinfacht sich dies zu

$$m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Um zu den von Ihnen geschriebenen Gleichungen zu gelangen, müssen wir einen weiteren Frame, f0, einfügen. Dies ist der Rahmen, mit dem Sie bei Ihrem anfänglichen Problem begonnen haben, in dem sich beide Objekte bewegen. Wir können sagen$v_{2,f1} = v_{2,f0} - v_{1, f0}$, was zeigt, dass die Geschwindigkeit im f1-Frame immer die Geschwindigkeit im f0-Frame minus der Geschwindigkeit von Objekt 1 ist. Ebenso$v_{1,f2} = v_{1,f0} - v_{2, f0}$. Wenn wir diese einsetzen, kommen wir schließlich zu den Gleichungen (1) und (2), mit denen Sie begonnen haben, aber mit etwas mehr Formalismus, um die Dinge zu entwirren

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Jetzt werden Sie feststellen, dass ich hier ein Minuszeichen habe, wenn Sie ein Plus hatten. Das ist wahrscheinlich die größte Verwirrung. Sie haben das Problem tatsächlich in Bezug auf einen Rahmen gelöst, der in die entgegengesetzte Richtung der Objekte abgehoben ist . Aber es hätte trotzdem funktioniert.

Das größere Problem ist, dass Sie feststellen, dass wir diese beiden Gleichungen nicht einfach gleich setzen können.$v_{3,f1}$Und$v_{3,f2}$sind zwei verschiedene dinge. Sie sind sicherlich verwandt, aber sie sind nicht gleich. Sie sind auch nicht genau gegensätzlich.$v_{3,f1} \neq v_{3,f2}$Es sei denn, die Massen sind gleich. Was wir jedoch tun können, ist, die beiden Gleichungen voneinander zu subtrahieren

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$

$$(m_1+m_2)(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$ $$v_{2,f0} - v_{1, f0} = v_{3,f1} - v_{3,f2}$

Also, wo sind wir gerade angekommen? Die Differenzen zwischen den kombinierten Endgeschwindigkeiten in f1 und f2 sind gleich der Differenz zwischen den Anfangsgeschwindigkeiten in f0. Dies ist intuitiv zu erwarten, da die Differenz zwischen f1 und f2 tatsächlich eine Geschwindigkeitsverschiebung ist, die die Geschwindigkeiten beider Teilchen berücksichtigt.

Diese Art Nicht-Antwort sagt uns etwas Wichtiges: Das Lösen dieses Problems in verschiedenen Frames hat die Geschichte nicht verändert. Die Ergebnisse werden miteinander konsistent sein. Sie können dieses System in jedem Rahmen lösen, der für Sie sinnvoll ist, und das Ergebnis wird dasselbe sein (nachdem Sie die Ergebnisse wieder in den endgültigen Rahmen Ihrer Wahl konvertiert haben).