Impulsoperator in effektiver Massennäherung

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, lautet die Antwort, dass Sie die Verbindung Ihrer Gleichungen entlang der quantisierten Richtung tatsächlich nicht rechtfertigen können . Tatsächlich sind die "Bänder" in der Richtung senkrecht zu Ihrer Platte vollständig flach, was einer unendlichen effektiven Masse in dieser Richtung entspricht. (Die Unendlichkeit ergibt sich aus der Annahme, dass die Elektronen eingeschlossen sind, sodass keine Menge an Energie / Kraft senkrecht zur Platte Bewegung / Impuls in diese Richtung erzeugt.)

Da macht man sich vielleicht Sorgen$m^*$Unendlich zu sein wird andere Dinge zerstören, aber wenn Sie die Ableitung der effektiven Masse im Detail ausarbeiten, sehen Sie tatsächlich, dass die effektive Masse eigentlich ein Tensor ist :

$$M_{ij} = \left[ \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(\vec{k})}{\partial k_i \partial k_j} \right]^{-1}$$ Wo $i,j = x,y$, oder $z$, was bedeutet, dass die Masse in verschiedenen Richtungen sehr unterschiedlich sein kann (und häufig ist). Sie haben das Glück, in einer hochsymmetrischen Geometrie zu arbeiten, in der Ihre begrenzten und nicht begrenzten Richtungen senkrecht und entkoppelt sind. Das heißt, Sie können nehmen $m^*$um die effektive Masse in der Ebene zu bezeichnen, die sich aus der 2D-Bandstruktur ergibt (die selbst von der Kristallstruktur usw. abhängt) und die Richtung außerhalb der Ebene als "nackt" zu behandeln ( dh $m^*=m_e$) Elektron in einer beliebigen 1D-einschließenden Quantentopfstruktur, die Sie haben.