Integrieren des radialen freien Falls in die Newtonsche Schwerkraft [Duplikat]

Question

Integrieren des radialen freien Falls in die Newtonsche Schwerkraft [Duplikat]

Kam

Ich dachte, das wäre eine einfache Frage, aber ich habe Probleme, sie herauszufinden. Übrigens keine Hausaufgabe. Ich bin Physikstudent und interessiere mich einfach wirklich für physikalische Probleme mit Mathematik, das wären sie alle.

Nehmen wir also an, wir lassen ein Objekt aus einer Höhe fallen, $R+r$ , es fällt auf die Erde. Diese Höhe, $R+r$ , ist weit genug entfernt, dass die $g$ es erlebt ist ein Bruchteil $g$ auf Meereshöhe. Sagen wir einfach, der Luftwiderstand ist vernachlässigbar, und es wäre nicht so kompliziert, ihn einfach zu integrieren $0$ Geschwindigkeit stückweise auf die Endgeschwindigkeit und kümmern uns später um den Rest.

Der Schlüssel hier ist also, dass sich die Beschleunigung mit der Zeit ändert. Ich dachte, ich könnte das vereinfachen, indem ich sage, dass es sich mit der Entfernung ändert und nichts mit der Zeit zu tun hat, aber das hat nicht wirklich geholfen, ich vermute, dass die Zeit vielleicht wichtig ist (doh).

Ich habe versucht, die Beschleunigung mit der Zeit zu integrieren, und bin nirgendwo gelandet. Ich habe versucht, mich zu integrieren $a=GM/R^2$ gegenüber $R$ aus $R+r$ Zu $R$ und endete mit einer negativen Funktion.

Ich habe irgendwo gesehen, dass jemand versucht hat, mit Taylor-Reihen zu expandieren, sie haben sogar etwas Ähnliches zur Hyperphysik, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich die Polynome erhalten soll, die den Variablen vorangehen.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/images/avari.gif

Dies ist die Hyperphysik-Site, wo sie Polynome verwenden, um die Entfernung zu finden. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/avari.html#c1

Vielleicht kann ich das nicht lösen, weil ich noch keinen Kurs in Differentialgleichungen besucht habe. Was ich wissen möchte, ist, wie ich die Entfernung jederzeit berechnen kann.

DilithiumMatrix

Es wäre hilfreich, wenn Sie einige Ihrer Arbeiten zeigen und erklären würden, wonach Sie suchen.

Brandon Enright

Da kein Luftwiderstand vorhanden ist, ist lediglich eine Integration (keine Differentialgleichung) erforderlich. Die nicht-relativistische Gleichung sollte für die meisten Situationen gut genug sein.

Kam

Die letzte Gleichung, an der ich gearbeitet habe, war diese:

a = a_{0} + 2 / x^{3} = 1 / x^{2} + 2 / x^{3}

$a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ Also habe ich im Grunde genommen die Gravitationskonstante und die Masse der Erde verworfen, um die Dinge zu vereinfachen. und tatsächlich kommt mir sogar diese gleichung falsch vor, weil integrieren

1 / x^{2}

$1/x^2$ sollte geben

- 2 / x^{3}

$-2/x^3$ . Aber ich dachte, das wäre albern, ich möchte Beschleunigung hinzufügen, nicht subtrahieren.

Kam

Ich verstehe, dass der richtige Weg darin besteht, dem zu folgen, was die Hyperphysik tat, die sich als Taylor-Serie ausdehnt, weil ich jemanden auf dieser Seite gesehen habe, der das tat. Aber ich weiß nicht, wie ich die Konstanten der Reihe erhalten soll. Deshalb dachte ich, ich müsste Differentialgleichungen kennen, weil ich mir ein paar Videos von mit angesehen habe und mir nicht sicher bin, wie man Grenzlösungen und ähnliches macht. Müsste ich zum Beispiel nicht eine ODE verwenden, bei der wir die Frequenz oder etwas in dieser Richtung berücksichtigen. Ich denke, meine ursprüngliche Frage war dumm.

David z

Suchen Sie danach ? (auch das )

Kam

Ja, ich versuche, mich für den ersten Schritt durch Ihre Berechnungen zu führen. Ich verstehe, dass Sie den Trennungsvektor r verwendet haben. Ich verstehe, dass Sie die F = ma setzen, wobei a die zweimalige Ableitung von r ist. Ich bin verwirrt darüber, wie du dazu gekommen bist

G (m_{1} + m_{2})

$G(m_1+m_2)$ aus den vorherigen Gleichungen. Danke für die Auskunft. Ich werde weiterlesen, bis ich das herausgefunden habe.

QMechaniker

Hallo Kami. Siehe zB Wikipedia . Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte auch eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben -Tags und die Phys.SE - Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

Antworten (3)

Integrieren des radialen freien Falls in die Newtonsche Schwerkraft [Duplikat]

Es wäre hilfreich, wenn Sie einige Ihrer Arbeiten zeigen und erklären würden, wonach Sie suchen.
Da kein Luftwiderstand vorhanden ist, ist lediglich eine Integration (keine Differentialgleichung) erforderlich. Die nicht-relativistische Gleichung sollte für die meisten Situationen gut genug sein.
Die letzte Gleichung, an der ich gearbeitet habe, war diese: $a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ Also habe ich im Grunde genommen die Gravitationskonstante und die Masse der Erde verworfen, um die Dinge zu vereinfachen. und tatsächlich kommt mir sogar diese gleichung falsch vor, weil integrieren $1/x^2$ sollte geben $-2/x^3$ . Aber ich dachte, das wäre albern, ich möchte Beschleunigung hinzufügen, nicht subtrahieren.
Ich verstehe, dass der richtige Weg darin besteht, dem zu folgen, was die Hyperphysik tat, die sich als Taylor-Serie ausdehnt, weil ich jemanden auf dieser Seite gesehen habe, der das tat. Aber ich weiß nicht, wie ich die Konstanten der Reihe erhalten soll. Deshalb dachte ich, ich müsste Differentialgleichungen kennen, weil ich mir ein paar Videos von mit angesehen habe und mir nicht sicher bin, wie man Grenzlösungen und ähnliches macht. Müsste ich zum Beispiel nicht eine ODE verwenden, bei der wir die Frequenz oder etwas in dieser Richtung berücksichtigen. Ich denke, meine ursprüngliche Frage war dumm.
Ja, ich versuche, mich für den ersten Schritt durch Ihre Berechnungen zu führen. Ich verstehe, dass Sie den Trennungsvektor r verwendet haben. Ich verstehe, dass Sie die F = ma setzen, wobei a die zweimalige Ableitung von r ist. Ich bin verwirrt darüber, wie du dazu gekommen bist $G(m_1+m_2)$ aus den vorherigen Gleichungen. Danke für die Auskunft. Ich werde weiterlesen, bis ich das herausgefunden habe.
Hallo Kami. Siehe zB Wikipedia . Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte auch eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben -Tags und die Phys.SE - Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

John Alexiou · Answer 1

Wenn $h$ ist dann die Höhe über der Erde

\ddot{H} = - \frac{G M}{(R + H)^{2}}

$\ddot{h} = -\frac{G M}{(R+h)^2}$

\ddot{H} = \frac{D \dot{H}}{D T} = \frac{D \dot{H}}{D H} \frac{D H}{D T} = \frac{D \dot{H}}{D H} \dot{H}

$\ddot{h} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}t}= \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \frac{{\rm d} h}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \dot{h}$

\int \ddot{H} D H = \int \dot{H} D \dot{H} = \frac{1}{2} {\dot{H}}^{2} + K

$\int \ddot{h}\; {\rm d} h = \int \dot{h}\; {\rm d} \dot{h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K$

\int - \frac{G M}{(R + H)^{2}} D H = \frac{1}{2} {\dot{H}}^{2} + K_{1}

$\int -\frac{G M}{(R+h)^2}\; {\rm d} h = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

\frac{G M}{R + H} = \frac{1}{2} {\dot{H}}^{2} + K_{1}

$\frac{G M}{R+h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

Gegebene Anfangsgeschwindigkeit von 0 in einer Höhe $h_0$ Dann $K_1=\frac{G M}{R+h_0}$ Und

\dot{H} = \sqrt{\frac{2 G M (H_{0} - H)}{(R + H) (R + H_{0})}}

$\dot{h} = \sqrt{ \frac{2 G M (h_0-h)}{(R+h)(R+h_0)}}$ gibt das Geschwindigkeitsprofil als Funktion der Höhe an

h

$h$ . Die Zeit bis zum Abstand ist

T = \int \frac{1}{\dot{H}} D H + K_{2}

$t = \int \frac{1}{\dot{h}}\;{\rm d}h + K_2$

was ausgedrückt werden kann als

T \sqrt{\frac{2 G M}{(R + H_{0})^{3}}} = \cos^{- 1} (\sqrt{\frac{R + H}{R + H_{0}}}) - \sqrt{\frac{R + H}{R + H_{0}} (1 - \frac{R + H}{R + H_{0}})}

$t \sqrt{ \frac{2 G M}{(R+h_0)^3} } = \cos^{-1}\left( \sqrt{ \frac{R+h}{R+h_0}}\right) - \sqrt{ \frac{r+h}{R+h_0} \left( 1 - \frac{R+h}{R+h_0} \right) }$

Eine enge Annäherung an das Obige ist

H \approx (R + H_{0}) (1 - {(\frac{9 G M}{2 R_{0}^{3}} T^{2})}^{\frac{1}{3}}) - R

$h \approx (R+h_0)\left(1-\left( \frac{9 G M}{2 r_0^3} t^2 \right)^\frac{1}{3} \right) - R$

Ich möchte hinzufügen, dass dies nur für die vertikale Projektion gilt. Im Allgemeinen ist der Pfad ein Vektorpfad. Für diesen Fall: $\vec{R} (T) = (R_{E} + H (T)) \hat{k}$ $\vec{r}(t) = (R_{E} + h(t) ) \hat k$ $| \vec{R} (T) | = R_{E} + H (T)$ $|\vec{r}(t)| = R_{E} + h(t)$ $\frac{| \vec{D R} |}{D H} = 1$ $\frac{|\vec{dr}|}{dh} = 1$ $| \vec{D R} | = D H$ $|\vec{dr}|= dh$ Deshalb "dr=dh". Wenn der Pfad nicht die obige Form hat, sondern andere Vektorkomponenten hat, wird es viel komplizierter.

xaxa · Answer 2

Warum wendest du keine Energieeinsparung an? Da dies eine 1-dimensionale Aufgabe im Potenzialfeld ist, wird es ausreichen

E / M = 0 - \frac{G M}{R (0)} = \frac{v (T)^{2}}{2} - \frac{G M}{R (T)}

$E/m = 0 - \frac{GM}{r(0)} = \frac{v(t)^2}{2} - \frac{GM}{r(t)}$

Für Ihre Annahme, dass die Bewegung streng radial und nach unten ist, haben Sie $v(t) = dr(t)/dt < 0$ damit Sie lösen können $dr(t)/dt$ und erhalten ein gewöhnliches Differential erster Ordnung, das durch Trennen der Variablen gelöst werden kann.

Dies ist kein Lagrange, dies ist Gesamtenergie ( $E$ ) = kinetisch ( $mv^2/2$ ) + Potenzial ( $-GmM/r$ ). Bei $t=0$ Sie haben kinetische Energie = 0. Sie lösen dies auf $v(t)^2$ algebraisch, also hast du $v(t)^2 = F(r)$ . Dann setzt du $v(t) = dr/dt$ und nehmen Sie beim Ziehen der Quadratwurzel ein Minuszeichen, also haben Sie $dr/dt = -\sqrt{F(r)}$ . Dann ordnen Sie einfach um, um zu bekommen $-dr/\sqrt{F(r)} = dt$ und integrieren. Auf der linken Seite haben Sie nur eine Funktion von $r$ , rechts nur von $t$ .

Matt · Answer 3

Ich dachte, die Schwerkraft ist eine gleichmäßige Beschleunigung, nicht eine zunehmende Beschleunigung.

Position: $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$

Geschwindigkeit: $y'(t) = gt$ ;

Beschleunigung: $y''(t) = g$ ;

Diese Aussage gilt nur, solange die Höhe über Grund vernachlässigbar zum Erdradius ist. Im Allgemeinen wird die Gravitationskraft mit dem Abstand im Quadrat zum Schwerpunkt des Gravitationsobjekts schwächer.

Integrieren des radialen freien Falls in die Newtonsche Schwerkraft [Duplikat]

Kam

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Matt

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