Integrierte Boltzmann-Gleichung für dunkle Materie

Question

Integrierte Boltzmann-Gleichung für dunkle Materie

Straße

In Dodelsons Buch die Gleichung für einen Streuprozess $a + b \Leftrightarrow c + d$ ist gegeben als

\begin{aligned} a^{- 3} \frac{d (n_{a} a^{3})}{d t} & = - n_{a}^{Gl} n_{b}^{Gl} ⟨ σ v ⟩ (\frac{n_{a} n_{b}}{n_{a}^{Gl} n_{b}^{Gl}} - \frac{n_{c} n_{d}}{n_{c}^{Gl} n_{d}^{Gl}}) \\ = - ⟨ σ v ⟩ (n_{a} n_{b} - \frac{n_{a}^{Gl} n_{b}^{Gl}}{n_{c}^{Gl} n_{d}^{Gl}} n_{c} n_{d}) \end{aligned}

$\begin{align} a^{-3} \frac{\mathrm d (n_a a^3)}{\mathrm d t}&=-n^{\text{eq}}_a n^{\text{eq}}_b\langle\sigma v\rangle\left(\frac{n_a n_b}{n^{\text{eq}}_a n^{\text{eq}}_b} - \frac{n_c n_d}{n^{\text{eq}}_c n^{\text{eq}}_d}\right)\\ &= - \langle\sigma v\rangle\left(n_a n_b - \frac{n^{\text{eq}}_a n^{\text{eq}}_b}{n^{\text{eq}}_c n^{\text{eq}}_d}n_c n_d\right) \end{align}$ mit

n_{ich} = g_{ich} e^{μ_{ich} / T} \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} e^{- E_{ich} / T}

$n_i = g_i e^{\mu_i/T}\int \frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}e^{-E_i/T}$ und die Gleichgewichtszahldichte

n_{ich}^{Gl} = g_{ich} \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} e^{- E_{ich} / T} .

$n^{\text{eq}}_i = g_i \int \frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}e^{-E_i/T}.$

Warum ist das $n^{\text{eq}}_i$ die Gleichgewichtszahldichte, da wir sie nicht unbedingt haben $\mu=0$ Im Gleichgewicht: $n_i=n^{\text{eq}}_i$ ?
In Abhandlungen über dunkle Materie ist es sehr oft zu sehen
$a^{- 3} \frac{d (n_{a} a^{3})}{d t} = - ⟨ σ v ⟩ (n_{a} n_{b} - n_{a}^{Gl} n_{b}^{Gl}) .$ $a^{-3} \frac{\mathrm d (n_a a^3)}{\mathrm d t}=-\langle\sigma v\rangle(n_a n_b - n^{\text{eq}}_a n^{\text{eq}}_b) .$ Dies gilt nur, wenn beides der Fall ist $c$ und $d$ sind im Gleichgewicht, oder? Ich habe diese Frage, weil in coannihilation dunkle Materie hep-ph/9704361 , der Beitrag von $\chi_a + X \Leftrightarrow \chi_b + Y$ wird gesagt, dass $\propto (n_a n_X - n^{\text{eq}}_a n^{\text{eq}}_X)$ wenn beide $\chi_a$ und $\chi_b$ frieren aus. Ich verstehe es nicht, weil $\chi_b$ ist nicht im Gleichgewicht.

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Integrierte Boltzmann-Gleichung für dunkle Materie

Siddharth Dhanpal · Answer 1

In der Reaktion $A+B\leftrightharpoons C+D$

wir können die integrierte Boltzmann-Gleichung schreiben als (unter Berücksichtigung der FRW-Metrik im flachen Raum)

a^{- 3} \frac{d (n_{EIN} a^{3})}{d t} = - ⟨ σ v ⟩ (n_{EIN} n_{B} - \frac{n_{EIN}^{e q} n_{B}^{e q}}{n_{C}^{e q} n_{D}^{e q}} n_{C} n_{D})

$a^{-3}\frac{d(n_{A}a^{3})}{dt}=-\langle\sigma v\rangle\left(n_{A}n_{B}-\frac{n_{A}^{eq}n_{B}^{eq}}{n_{C}^{eq}n_{D}^{eq}}n_{C}n_{D}\right)$

Wenn $C$ , $D$ sind SM (Standardmodell) Partikel $C$ , $D$ durch eine Reihe von Zwischenreaktionen im thermischen Gleichgewicht mit den Photonen stehen kann. So,

\frac{n_{C} n_{D}}{n_{C}^{e q} n_{D}^{e q}} = \frac{n_{p h} n_{p h}}{n_{p h}^{e q} n_{p h}^{e q}}

$\frac{n_{C}n_{D}}{n_{C}^{eq}n_{D}^{eq}}=\frac{n_{ph}n_{ph}}{n_{ph}^{eq}n_{ph}^{eq}}$

Aber, $n_{ph}=n_{ph}^{eq}$ Weil $\mu_{ph}=0$ .

Somit,

a^{- 3} \frac{d (n_{EIN} a^{3})}{d t} = - ⟨ σ v ⟩ (n_{EIN} n_{B} - n_{EIN}^{e q} n_{B}^{e q})

$a^{-3}\frac{d(n_{A}a^{3})}{dt}=-\langle\sigma v\rangle\left(n_{A}n_{B}-n_{A}^{eq}n_{B}^{eq}\right)$

Auch diese Gleichung gilt bei jeder Temperatur $A$ , $B$ im Gleichgewicht oder aus dem Gleichgewicht sind. Diese Gleichung ergibt das Profil von $n_{A}$ wenn sich das Universum ausdehnt.

Wenn $A$ , $B$ sind Teilchen der Dunklen Materie und $C$ , $D$ sind SM-Teilchen. $C$ , $D$ bei allen Temperaturen im thermischen Gleichgewicht mit den Photonen stehen $A$ , $B$ befinden sich im Gleichgewicht mit Photonen nur im frühen Universum, wo die Temperatur hoch genug ist, um das Gleichgewicht aufrechtzuerhalten. Wenn die Temperatur unter den Gefrierpunkt fällt $A$ , $B$ aus dem Gleichgewicht geraten und $A$ friert aus (Weil die Reaktionsgeschwindigkeit kleiner wird als die Expansionsgeschwindigkeit des Universums).

Integrierte Boltzmann-Gleichung für dunkle Materie

Straße

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Siddharth Dhanpal

Zwei widersprüchliche Formen der Zustandsgleichung eines nichtrelativistischen Gases

Wenn Dunkle Materie keine kinetische Energie verlieren kann, warum bewegt sie sich dann nicht mit relativistischen Geschwindigkeiten?

Was passiert hier, wenn der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik nicht gilt?

Können wir den zweiten Hauptsatz wirklich auf das gesamte Universum anwenden?

Warum befand sich das Universum direkt nach dem Urknall in einem Zustand mit außergewöhnlich niedriger Entropie?

Warum wird die Energie über der String-Landschaft minimiert?

Bedeutet der Hitzetod des Universums wirklich einen Zustand maximaler Entropie die ganze Zeit? Oder meistens?

Wie hängen verschiedene Definitionen von Entropie zusammen?

Warum die Temperatur sinkt, wenn sich das Universum ausdehnt

Bedeutet ΛCDM unendlich viele Boltzmann-Gehirne?