Zwei widersprüchliche Formen der Zustandsgleichung eines nichtrelativistischen Gases

Ich bin auf zwei widersprüchliche Ableitungen der Zustandsgleichung eines nicht-relativistischen Gases gestoßen. Allerdings stimmen die Ableitungen der relativistischen Zustandsgleichung beider Quellen überein. Ich denke, die Diskrepanz liegt vielleicht an unterschiedlichen Definitionen von Energie (Thermodynamik versus ...?). Ich habe die Argumente unten zusammengefasst.

$\textbf{Source 1}$: Anmerkungen zu Stellar Structure & Evolution von OR Pols, Seite 24 http://www.astro.ru.nl/~onnop/education/stev_utrecht_notes/chapter1-4.pdf

Beginnen Sie mit dem Druckintegral,

$$P = \frac{1}{3} \int_0^{\infty} \mathop{dp} n(p) p v_p = \frac{1}{3}n\langle pv_p\rangle,$$ Wo $n(p)$ist die Verteilungsfunktion im Impuls, $p$ist der Impuls, und $v_p$ist die Geschwindigkeit eines Teilchens mit Impuls $p$. Denken Sie auch daran, dass die "innere Energiedichte" $u$Ist $$u = \int_0^{\infty}\mathop{dp} n(p) E_p = n \langle E_p \rangle,$$ Wo $E_p$ist die kinetische Energie.

Für den nichtrelativistischen Fall gilt$v_p = \frac{p}{m}$, So

$$P = \frac{1}{3} n \langle pv_p \rangle = \frac{1}{3} n \langle \frac{p^2}{m} \rangle$$ $$= \frac{1}{3} n \langle 2E_p \rangle = \frac{2}{3} u,$$ also ist das Fazit $$P = \frac{2}{3} u.$$

$\textbf{Source 2}$: Rydens$\textit{Introduction to Cosmology}$, Seite 55.

Zustandsgleichungen sind hier bezeichnet

$$P = w\varepsilon,$$ Wo $\textbf{I am assuming that Ryden's $\varepsilon$ is the same as Pols' $u$}$. Nichtrelativistisches Gas gehorcht dem idealen Gasgesetz, $$P = \frac{\rho}{\mu}kT,$$ Wo $\rho$ist die Dichte und $\mu$ist die mittlere Masse der Teilchen. Für nichtrelativistische Teilchen gilt $$\varepsilon \approx \rho ,$$ So $$P \approx \frac{kT}{\mu}\varepsilon$$

Für ein nichtrelativistisches Gas gilt

$$3kT = \mu \langle v^2 \rangle$$ und somit $$P = \frac{\langle v^2 \rangle}{3} \epsilon,$$ aber wo sie behauptet $$\frac{\langle v^2 \rangle}{3} \ll 1,$$ was eindeutig der Behauptung von Pols widerspricht, dass dieser Proportionalitätsfaktor gilt $\frac{2}{3}$. Tatsächlich nimmt Ryden die Verhältnismäßigkeit an $0$, so dass $P=0$für ein nichtrelativistisches Gas.

Ich frage mich, wie ich diese beiden Argumente in Einklang bringen kann. Sind Polen$u$und Rydens$\varepsilon$die gleiche "Art" von Energie?