Inverses Quadratgesetz im 2 + 1-dimensionalen Universum aus einer Yukawa-Kopplung?

Es ist ein log(r)-Potenzial im 2d-Raum, also eine 1/r-Kraft in der masselosen Grenze. Das Yukawa-Potential wird hier berechnet: https://physics.stackexchange.com/questions/32337/yukawa-potential . Die Reduktion auf 2+1 Dimensionen ist die Fourier-Transformation der 2-dimensionalen Projektion des Propagators für$\omega=0$,

$$V(r) = \int {e^{ik_x r} \over k_x^2 + k_y^2 + m^2 } {dk_x dk_y\over (2\pi)^2}$$

Wo ich das gemacht habe$2\pi$Faktoren explizit (sie sind im k-Maß in der verknüpften Antwort implizit enthalten) und ich habe den Trennungsvektor zwischen den beiden Quellen in x-Richtung platziert. Obwohl dies spezielle Funktionen erfordert, wenn m ungleich Null ist, wird es elementar, wenn Sie m = 0 einsetzen. Es ist die Lösung der Laplace-Gleichung in 2d:

$$\nabla^2 V(x) = \delta^2(x)$$

Und das bedeutet nach dem Gaußschen Gesetz in 2d, dass die Größe des radialen Gradienten von V (unter Verwendung eines Gaußschen Kreises) gegeben ist durch

$$|\nabla V| = {1\over 2\pi r}$$

Was sich zu einem Log-Potenzial integriert

$$V(r) = {1\over 2\pi} \log(r)$$

Dieses Potential divergiert sowohl bei kleinen als auch bei großen r, was es etwas schwierig macht, das Fourier-Integral explizit aus dem Integral zu berechnen. Aber man kann es auch, wenn man das weiß

$$\lim_{k_{max}\to\infty}\int_0^{k_{max}} \sin(kx) dk = \lim_{k_{max}\to\infty}{1-\cos(k_{max}x)\over x}={1\over x}$$

Dieses Integral ist oszillierend und im Sinne von Riemann schlecht definiert, aber es oszilliert um den Wert auf der rechten Seite, den man verwenden sollte. Dies lässt sich mit Gittern begründen, am besten definiert man den Propagator aber direkt als Lösung der zugehörigen Bewegungsgleichung.

Der masselose Propagator in d euklidischen Dimensionen ist also immer die Lösung der Laplace-Gleichung in d-Dimensionen, und das Yukawa-Potential in d + 1-Dimensionen ist immer die euklidische Zeitverkürzung, also ist der Propagator d euklidische Dimensionen. Der Propagator in d-Dimensionen wird durch das Gaußsche Gesetz unter Verwendung einer d-1-dimensionalen Gaußschen Oberfläche gefunden, und dies ergibt den Gradienten des Propagators:

$$|\nabla V(r)| = {1\over S_{d-1} r^{d-1}}$$

Damit ist in jeder räumlichen Dimension d das Euklidische Propagator/Yukawa-Potential

$$V(r) = {1\over S_{d-1} r^{d-2}}$$

Wo$S_{d-1}$ist der Vorfaktor für das Volumen einer d-1-dimensionalen Kugel.