Kopplung eines masselosen Vektors an einen Erhaltungsstrom

Um Ein-Teilchen-Zustände von Spin-1 in einer Lagrange-Beschreibung zu beschreiben, müssen wir ein Feld verwenden$A_\mu$. Dies ist ein 4-Vektor bis zu Eichtransformationen, was bedeutet, dass unter Lorentz-Transformationen$\Lambda^\mu_\nu$das Feld$A_\mu$verwandelt sich als

$$A_\mu \rightarrow \Lambda^\nu_{\,\,\mu}\, A_\nu + \partial_\mu\Omega(x)$$

Wo$\Omega(x)$ist eine Funktion von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Entsprechend verschieben sich die Polarisationen analog

$$\epsilon^\mu(p,\sigma) \rightarrow \Lambda^\nu_{\,\,\mu}\,\epsilon_\nu(p,\sigma) + p^\mu(...)$$

wo der detaillierte Ausdruck von$(...)$ist hier unwichtig.

Das Endergebnis dieser Diskussion ist, dass wir, um offensichtlich Lorentz-invariante S-Matrix-Elemente (und auch eine Lorentz-invariante Theorie) zu haben, die Theorie auf eichinvariante Weise schreiben müssen.

Der wirtschaftlichste Weg dazu ist die Kopplung des Photonenfeldes$A_\mu$zu einem Erhaltungsstrom

$$\mathcal{L}_A = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^2 + A_\mu J^\mu$$ und die Invarianz unter Eichtransformation wird auf der Schale (dh auf der Bewegungsgleichung) wiederhergestellt.

$$\delta \mathcal{L}_A = -\Omega(x)\partial_\mu J^\mu\Big|_\text{on-shell}=0$$

Das bekannteste Beispiel ist der elektronische Strom$J^\mu =e\,\bar{\psi}\gamma^\mu \psi$, weil es immer so zitiert wird$\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu \psi=0$.

Hier ist meine Verwirrung. Wenn wir die messen$U(1)$globale Symmetrie$\psi\rightarrow e^{ie\alpha}\psi$, die Bewegungsgleichung wird durch die Kopplung modifiziert$\psi$mit$A_\mu$

$$(\gamma^\mu \partial_\mu + e A_\mu) \psi= 0$$

und dies scheint zu sagen, dass, wenn die Fermion- und Eichsektoren kommunizieren, es nicht mehr stimmt, dass der Strom erhalten bleibt. In der Tat,

$$\partial_\mu J^\mu \Big|_\text{on-shell} = \partial_\mu(\bar{\psi})\gamma^\mu\psi + \bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi = -A_\mu \gamma^\mu \psi - \bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu$$

Dumme Frage

Ist diese letzte Menge Null? Mit anderen Worten, ist der globale konservierte Strom immer noch konserviert, wenn wir ihn messen$U(1)$Symmetrie?