Warum ist zur Quantisierung des EM-Feldes die Einführung eines Quantisierungsvolumens notwendig?

Ich habe mich mit der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes beschäftigt, und jede Quelle, die ich finde, führt dabei ein Quantisierungsvolumen mit periodischen Randbedingungen ein, in das wir die allgemeine Lösung von einpassen A ( X , T ) . Warum ist das notwendig? Ich verstehe, dass dies es uns ermöglicht, eine abzählbar unendliche Summe über Wellenvektoren zu betrachten, anstatt eine unabzählbare, da die Wellenvektoren so gemacht sind, dass sie die periodischen Randbedingungen erfüllen.

Ich habe den vagen Eindruck, dass es etwas mit der Orthogonalität der Wellenfunktionen (Lösungen der Wellengleichung des Feldes vor der Quantisierung) zu tun hat, sodass die Integration wie folgt eine Delta-Funktion ergibt

∑ k k ' ∫ D X e ich ( k − k ' ) X = δ ( k − k ' )

aber dann denke ich, dass dies im kontinuierlichen Fall gleichermaßen funktionieren sollte

∫ ∫ D k D k ' ∫ D X e ich ( k − k ' ) X = δ ( k − k ' )

Was verstehe ich nicht? Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe!

Randbemerkung: Warum ist das mit QFT getaggt, aber Sie sprechen von "Wellenfunktionen"?
Das ist eine schlechte Verwendung der Terminologie meinerseits, ich nehme an, die Wellengleichung könnte besser geeignet sein? Ich dachte an Lösungen für die Wellengleichung des Feldes vor der Quantisierung. Bearbeiten: Bei der zweiten Gedankenwelle ist die Gleichung viel schlimmer, es war ein langer Tag, was schlagen Sie vor?
Es ist in Ordnung eine Wellengleichung, und das Feld erfüllt sie immer noch als Operatorgleichung nach der Quantisierung. In Quantenkontexten ist "Wellenfunktion" jedoch normalerweise für Lösungen der Schrödinger-Gleichung in der Ortsdarstellung reserviert.

Antworten (2)

Die Quantisierung in einem endlichen Volumen ist nicht spezifisch für das elektromagnetische Feld, und es ist keine Notwendigkeit, weder für das elektromagnetische Feld noch für irgendein anderes.

Es ist im Allgemeinen gesitteter, in einem endlichen Volumen zu quantisieren, weil keine infrarotähnlichen Divergenzen auftreten, wenn man beliebig kleine Impulse zulässt (da keine beliebig langen Wellenlängen in das endliche Volumen passen), und weil große Größen wie Energie nicht ausfallen werden unendlich, während natürlich zB für (Vakuum-)Energiedichte ungleich Null und unendlichem Volumen die (Vakuum-)Energie auch unendlich sein wird.

Aber Sie können auch in unendlichem Volumen quantisieren und Fourier-Integrale über Impulse anstelle von Fourier-Summen haben, es gibt nichts, was dies verbietet, und "normalerweise" (dh nach meiner begrenzten Erfahrung) wird QFT tatsächlich in unendlichem Volumen durchgeführt.

Wenn Sie sagen, dass Energie auf einem endlichen Volumen endlich ist, betrachten Sie dann den normal geordneten Hamilton-Operator (dh mit oder ohne Nullpunktsenergie)?
@Julius: Ah, die Vakuumenergie war wahrscheinlich ein schlechtes Beispiel, weil sie in einem endlichen Volumen immer noch divergent ist, wenn es keine obere Impulsgrenze gibt. Um meine Aussagen richtig zu machen, müssten wir eine renormierte Theorie in Betracht ziehen, bei der die UV-Divergenz entfernt wurde, bei der die Gesamtenergie im unendlichen Volumen immer noch unendlich wäre (es sei denn, die Vakuumenergiedichte wird auf 0 gesetzt). Mein Punkt hier ist nur, dass Dichten ungleich Null (von "irgendetwas") zu Unendlichkeiten (der Form δ ( 0 ) , normalerweise) in unendlichem Volumen.

Ein Grund für die Box ist, dass die Fourier-Expansion des Feldes unter stabilen makroskopischen Bedingungen (Wärmestrahlung, Hohlraumoszillationen) nur für endliches Volumen gut funktioniert. Für unendliches Volumen ist das Fourier-Integral eines solchen stationären Feldes problematisch, da die Feldfunktion nicht L2-integrierbar ist.

Das ist etwas in der Art, was ich dachte, gibt es einen Satz in der Fourier-Analyse, der dies unterstützt?
Satz von Plancherel : en.wikipedia.org/wiki/…
Warum ist zur Quantisierung des EM-Feldes die Einführung eines Quantisierungsvolumens notwendig?
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