Was sind die grundlegenden Invarianten im 1+d1+d1+d schwachen Elektromagnetismus?

Wenn Sie Ihre Frage darauf beschränken, was die Lorentz-invarianten Polynome sind$F_{\mu\nu}$, dann hat die Frage eine relativ einfache Antwort.$F_{\mu\nu}$ist eine antisymmetrische Matrix, die dieselbe Darstellung wie die Adjungierte der Lorentz-Gruppe ist.

Invariante Polynome in der adjungierten Darstellung einer Algebra$g$bilden das sogenannte Zentrum der universellen Hüllalgebra$Ug$. Es ist weiter bekannt, dass das Zentrum von$Ug$für ein einfaches$g$wird endlich erzeugt durch$n$Generatoren, die als Casimir-Elemente bekannt sind. Hier$n$ist gleich dem Rang von$g$.

In unserem Fall ist die Algebra$so(d)$(oder$so(d-1,1)$aber die Analyse hängt nicht von der Signatur ab), was dasselbe ist wie$D_n$für$d=2n$oder$B_n$für$d=2n+1$.

Für$B_n$die Kasimir-Elemente sind gerecht$\mathrm{Tr}\,F^k$für sogar$k=2,4,\ldots, 2n$. Hier vorbei$F^k$Ich meine das Übliche$k$-te Matrixleistung und nicht $F\wedge F \wedge \ldots \wedge F$. (Für ungerade$k$die Invariante$\mathrm{Tr}\,F^k$verschwindet – warum?)

Für$D_n$die Casimir-Elemente sind$\mathrm{Tr}\,F^k$für$k=2,4,\ldots, 2(n-1)$, die geben$n-1$Invarianten. Das Letzte$n$-te Invariante ist durch Pfaffian gegeben$F$,

Alle anderen Invarianten polynomial in$F$können als Polynome in den obigen Basisinvarianten geschrieben werden.

In vier Dimensionen haben wir also$\mathrm{Tr} F^2=F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}$Und$\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho} F_{\mu\nu}F_{\sigma\rho}$wie erwartet. In zwei Dimensionen gibt dies gerade$\epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$. In drei Dimensionen gibt es nur$F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}$.