Ist das Newtonsche Gesetz wirklich invariant unter der Galilei-Transformation (für die geschwindigkeitsabhängige Lorentz-Kraft)?

Question

Ist das Newtonsche Gesetz wirklich invariant unter der Galilei-Transformation (für die geschwindigkeitsabhängige Lorentz-Kraft)?

Erstarrung

Betrachten Sie die Bewegung eines geladenen Ladungsteilchens $q$ und Masse $m$ aus zwei verschiedenen Trägheitsrahmen $S$ Und $S'$ durch die Galileische Transformationsgleichung verbunden ${\vec r}'={\vec r}-{\vec V}t$ . Das impliziert das ohne Weiteres ${\vec a}^\prime=\vec{a}$ . Seit $m'=m$ , für die Invarianz von ${\vec F}=m{\vec a}$ das brauchen wir ${\vec F}'={\vec F}$ . Ein Magnetfeld ist jedoch geschwindigkeitsabhängig, und auch ein reines Magnetfeld in einem Rahmen wird zu einer Kombination aus einem elektrischen und einem magnetischen Feld.

Lassen Sie mich nur die Nicht-Invarianz des zweiten Newtonschen Gesetzes zeigen. Lassen $\frac{d\vec r}{dt}={\vec v}$ Und $\frac{d\vec r^\prime}{dt}={\vec v}^\prime$ . Dann impliziert die Galileische Transformation

{\vec{v}}^{'} = \vec{v} - \vec{v} .

${\vec v}^\prime={\vec v}-{\vec V}.$ Newtons zweites Gesetz für das geladene Teilchen aus

S

$S$ Ist

\begin{matrix} (1) & \vec{F} = M \vec{A} = Q (\vec{v} \times \vec{B}) \end{matrix}

${\vec F}=m{\vec a}=q(\vec v\times\vec B)\tag{1}$ und von ab

S^{'}

$S'$ Ist

{\vec{F}}^{'} = M {\vec{A}}^{'} = Q ({\vec{v}}^{'} \times {\vec{B}}^{'}) .

${\vec F}^\prime=m{\vec a}^\prime=q(\vec v^\prime\times\vec B^\prime).$ Damit transformiert sich das Magnetfeld unter GT als ( die

c \to \infty

$c\to\infty$ Grenze der Lorentztransformation )

{\vec{B}}_{| |} = {\vec{B}}_{| |}, A N D {\vec{B}}_{⊥}^{'} = {\vec{B}}_{⊥}^{'} \Rightarrow {\vec{B}}^{'} = \vec{B}

$\vec B_{||}=\vec B_{||},~{\rm and}~ {\vec B_\perp}^\prime={\vec B_\perp}^\prime\Rightarrow {\vec B}'=\vec B$ wir sehen das

\begin{matrix} (2) & {\vec{F}}^{'} = M {\vec{A}}^{'} = Q (\vec{v} - \vec{v}) \times \vec{B} . \end{matrix}

$\vec F^\prime=m\vec a^\prime=q(\vec v -\vec V)\times \vec B.\tag{2}$

Seit $\vec a'=\vec a$ , wir einen Widerspruch zwischen (1) und (2). Bedeutet dies nicht, dass das Newtonsche Gesetz unter der Galileischen Transformation nicht immer unveränderlich ist?

Maximales Ideal

Das Problem ist, dass das Lorentzkraftgesetz (die ursprüngliche Version von) Newtons drittem Gesetz bricht. In diesem Szenario sind die Newtonschen Gesetze von vornherein nicht erfüllt. Daher zeigt dies nicht, dass die Newtonschen Gesetze nicht galiläisch invariant sind. Ich habe im Moment keine Zeit, aber ich denke, man kann beweisen, dass Ihr System galiläisch invariant ist, wenn Ihr Kraftgesetz die drei Newtonschen Gesetze erfüllt. In Ihrem Fall erfüllt das Lorentz-Kraftgesetz die Satzhypothese nicht, daher ist es nicht verwunderlich, dass Sie in diesem Zusammenhang so etwas wie Geschwindigkeitsabhängigkeit haben.

Maximales Ideal

Elektromagnetismus ist von Natur aus eine relativistische Theorie, wie Sie wahrscheinlich wissen, aber wenn wir ihn unterrichten, verwenden wir normalerweise eine seltsame Mischung aus einigen Newtonschen Gesetzen und einigen EM, um darüber zu sprechen (das ist in Ordnung, wenn Sie mit Ihren Annahmen vorsichtig sind. .. stellen Sie sicher, dass sich Ihre Partikel nicht in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit bewegen usw. usw.).

Erstarrung

@MaximalIdeal Eigentlich habe ich nach der Invarianz des zweiten Gesetzes gefragt, nicht des dritten. Wollen Sie sagen, dass die Invarianz des zweiten Hauptsatzes von der Invarianz des dritten Hauptsatzes unter GT abhängt?

Maximales Ideal

Ja. Newtons zweites Gesetz allein führt nicht zu galiläischen invarianten Systemen (ich denke, die Form der Gleichung

F = m a

$F=ma$ bleibt gleich, aber das beschriebene System ist möglicherweise nicht invariant unter GT). Dies führt zu einer interessanten Frage: Warum ist die Form der Gleichung

F = m a

$F=ma$ invariant unter GT, aber das System ist nicht invariant, es sei denn, es erfüllt auch den dritten Hauptsatz?

Kurt g.

Bitte gestatten Sie eine kleine Randbemerkung. Wie @MaximalIdeal schrieb, ist EM von Natur aus relativistisch, daher müssen Lorentz-Transformationen verwendet werden. Einige Diskussionen und Referenzen, wie das Lorentz-Kraftgesetz (das ein geladenes Teilchen in einem EM-Feld beschreibt) für jede Geschwindigkeit formuliert werden sollte, finden Sie hier . Dazu gehört auch eine relativistische Kraftdefinition.

Mosibur Ullah

Im Elektromagnetismus wurde entdeckt, dass die Lorentz-Gruppe die wahre Symmetriegruppe der Raumzeit ist und nicht die Galileische Gruppe. In Anbetracht dessen ist Ihr Beispiel nicht hilfreich. Wenn Sie bestreiten wollen, dass die Galileische Gruppe nicht die Symmetriegruppe der Newtonschen Gesetze ist, müssen Sie sich meiner Meinung nach an die klassische Mechanik halten. Aber ich wäre sehr überrascht, wenn es Ihnen gelingen würde, dies zu zeigen.

Knzhou

Grundsätzlich besteht das Problem darin, dass Sie vorsichtig sein müssen, wenn Sie die Galileische Grenze nehmen. Wenn Sie nur ein System von sich langsam bewegenden Punktladungen haben, wann dann

v / c \to \infty

$v/c \to \infty$ die Magnetkräfte verschwinden, weil die Magnetkraft zwischen zwei Ladungen liegt

(v / c)^{2}

$(v/c)^2$ kleiner als die elektrische Kraft. Das Problem, auf das Sie hinweisen, tritt also einfach nicht auf, da überhaupt keine Magnetkraft vorhanden ist.

Knzhou

Wenn Sie mehr sehen möchten, finden Sie hier das klassische Papier zu diesem Thema .

Antworten (2)

Ist das Newtonsche Gesetz wirklich invariant unter der Galilei-Transformation (für die geschwindigkeitsabhängige Lorentz-Kraft)?

Das Problem ist, dass das Lorentzkraftgesetz (die ursprüngliche Version von) Newtons drittem Gesetz bricht. In diesem Szenario sind die Newtonschen Gesetze von vornherein nicht erfüllt. Daher zeigt dies nicht, dass die Newtonschen Gesetze nicht galiläisch invariant sind. Ich habe im Moment keine Zeit, aber ich denke, man kann beweisen, dass Ihr System galiläisch invariant ist, wenn Ihr Kraftgesetz die drei Newtonschen Gesetze erfüllt. In Ihrem Fall erfüllt das Lorentz-Kraftgesetz die Satzhypothese nicht, daher ist es nicht verwunderlich, dass Sie in diesem Zusammenhang so etwas wie Geschwindigkeitsabhängigkeit haben.
Elektromagnetismus ist von Natur aus eine relativistische Theorie, wie Sie wahrscheinlich wissen, aber wenn wir ihn unterrichten, verwenden wir normalerweise eine seltsame Mischung aus einigen Newtonschen Gesetzen und einigen EM, um darüber zu sprechen (das ist in Ordnung, wenn Sie mit Ihren Annahmen vorsichtig sind. .. stellen Sie sicher, dass sich Ihre Partikel nicht in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit bewegen usw. usw.).
@MaximalIdeal Eigentlich habe ich nach der Invarianz des zweiten Gesetzes gefragt, nicht des dritten. Wollen Sie sagen, dass die Invarianz des zweiten Hauptsatzes von der Invarianz des dritten Hauptsatzes unter GT abhängt?
Ja. Newtons zweites Gesetz allein führt nicht zu galiläischen invarianten Systemen (ich denke, die Form der Gleichung $F=ma$ bleibt gleich, aber das beschriebene System ist möglicherweise nicht invariant unter GT). Dies führt zu einer interessanten Frage: Warum ist die Form der Gleichung $F=ma$ invariant unter GT, aber das System ist nicht invariant, es sei denn, es erfüllt auch den dritten Hauptsatz?
Bitte gestatten Sie eine kleine Randbemerkung. Wie @MaximalIdeal schrieb, ist EM von Natur aus relativistisch, daher müssen Lorentz-Transformationen verwendet werden. Einige Diskussionen und Referenzen, wie das Lorentz-Kraftgesetz (das ein geladenes Teilchen in einem EM-Feld beschreibt) für jede Geschwindigkeit formuliert werden sollte, finden Sie hier . Dazu gehört auch eine relativistische Kraftdefinition.
Im Elektromagnetismus wurde entdeckt, dass die Lorentz-Gruppe die wahre Symmetriegruppe der Raumzeit ist und nicht die Galileische Gruppe. In Anbetracht dessen ist Ihr Beispiel nicht hilfreich. Wenn Sie bestreiten wollen, dass die Galileische Gruppe nicht die Symmetriegruppe der Newtonschen Gesetze ist, müssen Sie sich meiner Meinung nach an die klassische Mechanik halten. Aber ich wäre sehr überrascht, wenn es Ihnen gelingen würde, dies zu zeigen.
Grundsätzlich besteht das Problem darin, dass Sie vorsichtig sein müssen, wenn Sie die Galileische Grenze nehmen. Wenn Sie nur ein System von sich langsam bewegenden Punktladungen haben, wann dann $v/c \to \infty$ die Magnetkräfte verschwinden, weil die Magnetkraft zwischen zwei Ladungen liegt $(v/c)^2$ kleiner als die elektrische Kraft. Das Problem, auf das Sie hinweisen, tritt also einfach nicht auf, da überhaupt keine Magnetkraft vorhanden ist.
Wenn Sie mehr sehen möchten, finden Sie hier das klassische Papier zu diesem Thema .

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Das Newtonsche Gesetz ist unter der Galilei-Transformation invariant, vorausgesetzt, dass die richtige nicht-relativistische Grenze der Lorentz-Transformation des elektromagnetischen Felds berücksichtigt wird.

Wie in der Frage erinnert, in der nicht-relativistischen Grenze, das Magnetfeld in der $S'$ Referenzrahmen ist der gleiche wie in der $S$ rahmen. Allerdings, auch wenn in $S$ es gibt kein elektrisches Feld, in der $S'$ Rahmen entsteht ein elektrisches Feld

E^{'} = v \times B .

${\bf E'}={\bf V}\times{\bf B}.$ Daher haben wir die Gleichheit der Kraft in den beiden Bezugssystem:

F^{'} = Q (E^{'} + v^{'} \times B^{'}) = Q (v \times B + (v - v) \times B) = Q (v \times B) = F

${\bf F'}=q \left( {\bf E'} + {\bf v'}\times{\bf B'} \right)=q \left( {\bf V}\times{\bf B} + ({\bf v} - {\bf V}) \times{\bf B} \right)=q \left( {\bf v}\times{\bf B} \right)={\bf F}$

Erstarrung · Answer 2

Newtons zweites Gesetz $\vec F=m\vec a$ ist nur unter der Galilei-Transformation invariant, sofern die Kraft zwischen den wechselwirkenden Objekten vom Abstandsvektor zwischen den wechselwirkenden Objekten abhängt, $(\vec{r}_1-\vec{r}_2)$ und wird entlang geleitet $(\vec{r}_1-\vec{r}_2)$ . Da der Trennungsvektor $(\vec{r}_1-\vec{r}_2)$ bleibt unter der Galilei-Transformation unverändert, $\vec{r}'={\vec r}-\vec Vt$ , dh

({\vec{R}}_{1} - {\vec{R}}_{2}) = ({\vec{R}}_{1}^{'} - {\vec{R}}_{2}^{'}),

$(\vec{r}_1-\vec{r}_2)=(\vec{r}'_1-\vec{r}'_2),$ Die Kräfte sind in beiden Rahmen gleich, dh

\vec{F} = {\vec{F}}^{'}

$\vec F=\vec F'$ . Gravitationskräfte, elektrostatische Kräfte erfüllen das obige Kriterium, nicht aber die magnetische Lorentzkraft.

Gilt Newtons zweites Gesetz nicht in allen Inertialsystemen? Ich meine $\mathbf{a} = \mathbf{a}'$ und da Newtons zweites Gesetz in allen Trägheitsrahmen gültig (und auch masseninvariant) ist, dann $\mathbf{F} = \mathbf{F}'$ .

Ist das Newtonsche Gesetz wirklich invariant unter der Galilei-Transformation (für die geschwindigkeitsabhängige Lorentz-Kraft)?

Erstarrung

Maximales Ideal

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Erstarrung

Maximales Ideal

Kurt g.

Mosibur Ullah

Knzhou

Knzhou

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GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Erstarrung

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