Wie ist die Lorentz-Kraft rahmenunabhängig?

Lassen$\bf p$sei der 3-Impuls eines Ladungsteilchens$q$Situation in einem elektromagnetischen Feld${\bf E}$,${\bf B}$. Dann ist die folgende Formel in der speziellen Relativitätstheorie vollständig richtig; es gilt bei allen Drehzahlen:

$$\frac{d {\bf p}}{d t} = q ({\bf E} + {\bf v} \times {\bf B})$$ In dieser Formel$t$ist die Zeit, wie sie in einem Inertialsystem registriert ist, in dem alle Größen beobachtet werden.

Jetzt ist die Frage ob, wann wir trainieren$d {\bf p}/d t$, erhalten wir eine rahmenunabhängige Antwort, dh die gleiche, egal welches Inertialsystem angenommen wurde, um zu sagen, was wir meinen$\bf p$Und$t$. Die Antwort ist nein, wenn es um hohe Geschwindigkeiten geht, aber ungefähr ja, wenn die Geschwindigkeiten klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind. Das heißt, in der Newtonschen Physik ändern sich Kraft und Beschleunigung nicht von einem Inertialsystem zum anderen, aber in der speziellen Relativitätstheorie tun sie es.

Ich erwarte, dass der Lehrer klarstellen wollte, dass man Fälle haben kann, wo$\bf E$ist in einem Rahmen ungleich Null und in einem anderen Null, aber das Magnetfeld$\bf B$ändert sich so, dass die Kraft nahezu unverändert bleibt (mit Korrekturen nur in Höhe von$(v/c)^2$.) Und ähnlich kann man einen Frame mit haben$\bf B$und ein anderer mit Nr$\bf B$, Aber$\bf E$ändert sich so, dass die Kraft fast gleich bleibt. (Es gibt auch Fälle, in denen beide Felder ungleich Null sind, egal welches Bild Sie auswählen). Bei Geschwindigkeiten in der Größenordnung von einem Meter pro Sekunde liegt die Differenz zwischen der Kraft in einem Frame und einem anderen auf dem Niveau eines Teils in$10^{16}$, dh winzig. Da fast die gesamte Wissenschaft weniger genau ist, ist es für einen Lehrer fair zu behaupten, dass die Kraft "unverändert" ist.

Gute Frage. Sie sind auf die Tatsache gestoßen, dass die Maxwell-Gleichungen unter einer Galileischen Transformation nicht unveränderlich sind. Die Galileische Relativitätstheorie besagt, dass sich zwei Objekte mit einer relativen Geschwindigkeit trennen$\vec v$berechnet die gleiche Kraft auf ein Teilchen:

$$x'=x-vt$$ Deshalb$\ddot x'=\ddot x$

Lassen Sie uns also zunächst einmal klarstellen: Die Kraft ist tatsächlich ungleich, da die Galileische Relativitätstheorie falsch und die Maxwell-Gleichungen richtig sind.

Um dies zu beweisen: Beginnen Sie mit der Vermutung, dass die Kraft in den beiden Rahmen gleich ist , und Sie werden sehen, dass diese Bedingung die Maxwell-Gleichungen nicht reproduziert.

Dies war tatsächlich eines der Probleme, die Einstein 1905 dazu brachten, sich für die Spezielle Relativitätstheorie zu interessieren.

(Drei) Vektoren können keine Invarianten sein. Somit ist die Lorentz-Kraft keine Invariante und auch nicht die Vektoren (das elektrische Feld, die Geschwindigkeit und das magnetische Feld), die sie definieren.

Unverändert bleibt nur die Gleichung

$$\vec{F} = q( \vec{E} + \vec{v}\times \vec{B}),$$ was in jedem Inertialsystem gilt, solange alle beitragenden Vektoren korrekt transformiert werden. dh für einen anderen Trägheitsrahmen

$$\vec{F}' = q( \vec{E}' + \vec{v}'\times \vec{B}'),$$ aber im Allgemeinen,$\vec{F}' \neq \vec{F}$in Größe oder Richtung.

Da Sie in der High School sind, schauen Sie sich am besten einen einfachen Fall an. Angenommen, Sie haben eine unendliche Ladungslinie (lineare Dichte$\lambda$entlang der$z$-Achse) und ein geladenes Teilchen$q$. Das elektrische Feld um die lineare Ladung lautet:

$$\vec E(r, \phi, z) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r$$

Das Magnetfeld ist$\vec B = 0$.

Also für eine Gebühr sitzen$r$, sagt das Lorentzkraftgesetz:

$$\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B) =q\vec E = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r$$

Jetzt in einem Rahmen, der sich entlang bewegt$\vec v = -\beta c \hat z$, sieht es anders aus. Die Ladung bewegt sich um$\beta c$entlang$+\hat z$bei$r'=r$.

Die lineare Ladungsdichte ist Lorentz-kontrahiert:

$$\lambda' = \gamma\lambda$$

mit$\gamma=\frac 1 {\sqrt{1-\beta^2}}$, also ist das elektrische Feld:

$$\vec E'(r', \phi', z') = \frac{\lambda'}{2\pi\epsilon_0 r'} \hat r'$$ $$\vec E'(r', \phi', z') = \frac{\gamma\lambda'}{2\pi\epsilon_0 r'} \hat r'$$ $$\vec E'(r', \phi', z') =\gamma\vec E$$

so ist es in jedem beweglichen Rahmen stärker. Die Ladung bewegt sich auch mit einem Strom:

$$\vec I = \gamma\beta\lambda c\hat z'$$

wodurch ein um den Draht zirkulierendes Magnetfeld entsteht:

$$\vec B'(r',\theta',z')= \frac{I}{2\pi\mu_0 r'}\hat{\theta}'=\frac{ \gamma\beta\lambda c}{2\pi\mu_0 r'}\hat{\theta}'$$

was geschrieben werden kann als:

$$\vec B'(r',\theta',z')=\frac{-\gamma}{c^2}\big(\vec v \times \vec E\big)$$ $$\vec B' =\frac{-\gamma\beta}{c}E\hat{\theta}'$$

Die Kraft auf die Ladung ist jetzt:

$$\vec F' =q(\vec E'+\vec v\times \vec B')$$

$$\vec F' =q\gamma E(\hat r'-{\beta}^2(\hat z'\times\hat{\theta}')$$ $$\vec F' =q\gamma E(\hat r'-{\beta}^2\hat r'$$ $$\vec F' =q\gamma E(1-{\beta}^2)\hat r'$$ $$\vec F' =q\gamma E\frac 1 {\gamma^2}\hat r'$$ $$\vec F' =qE\hat r'/\gamma =\vec F/\gamma$$

oder:

$$\frac{d\vec p'}{dt'} = \frac{d\vec p}{dt}\frac 1 {\gamma}$$

wo jetzt der Lorentz-Faktor, der aus der Lorentz-Kontraktion und der Ladung, die aktuell wurde, stammte, jetzt die Zeitdilatation berücksichtigt, so dass:

$$\frac{d\vec p'}{d\tau'} = \frac{d\vec p}{d\tau}$$

tl; dr: Raum und Zeit mischen sich, elektrische und magnetische Felder mischen sich und Ladungen und Strom mischen sich, alles so, dass das Lorentz-Gesetz in jedem Inertialsystem wahr ist.