Ist der ideale Übergang zwischen zwei beliebigen ebenen Bahnen immer eine bitangentiale Ellipse?

Ich habe Hollister Davids kurze Abhandlung über bi-tangentiale Übertragungen gelesen. Das Beispiel, das er verwendet, ist ein Transfer zwischen einer ebenen kreisförmigen und einer elliptischen Umlaufbahn. Ich frage mich: Ist ein Ideal, das heißt das niedrigste Δ v Kosten, Transfer zwischen zwei beliebigen Umlaufbahnen um einen einzigen Massenpunkt immer eine Ellipse, die tangential zu beiden Umlaufbahnen ist? Ich schließe die Fälle aus, in denen eine bielliptische Übertragung ideal ist, da die Antwort dann immer ein Manöver mit unendlicher Apoapsis ist.

Ich fühle mich nicht ganz wohl damit, darauf als sichere Annahme zu vertrauen, als ob ich a zahlen würde Δ v Kosten in eine andere Richtung als prograd oder retrograd sind teuer, es ist keineswegs schrecklich. Wenn diese Annahme tatsächlich nicht zutrifft, welche Kriterien müssen ebene beliebige Bahnen erfüllen, damit die ideale Übertragung zwischen ihnen eine bitangentiale Ellipse ist?

Klärung:

Eine Transferumlaufbahn, die "tangential" zu einer Umlaufbahn ist, bedeutet, dass beim Übergang zwischen der Umlaufbahn und der Transferumlaufbahn eine Geschwindigkeitsänderung nur in der prograden oder retrograden Richtung angewendet wird. Eine "bitangentiale Übertragung" liegt vor, wenn die Übertragungsbahn zwischen zwei Bahnen tangential zu beiden ist. Folglich ist dieses Problem streng planar. Der "bi-elliptische Transfer", auf den ich mich beziehe, ist, wenn die Alternative mit den niedrigsten Kosten darin besteht, eine Verbrennung bei Periapsis durchzuführen, die bis ins Unendliche beschleunigt, und dann Null-Kosten-Manöver "im Unendlichen" durchzuführen, bevor sie auf die Periapsis der anderen Umlaufbahn zurückfallen.

Beispiel einer bitangentialen Übertragung. Beide Verbrennungen erfolgen tangential:

bitangentiale Übertragung

Kopfgeld:

Ich hatte ein Kopfgeld von 100 Wiederholungen für diese Frage, das abgelaufen ist und nur eine Teilantwort erhalten hat. Da es gegenüber einer möglichen vollständigen Antwort etwas unfair ist, dass ein anderer das Kopfgeld erhalten hat, läuft jetzt ein Kopfgeld mit 500 Wiederholungen.

Das ist alles schön für ein vereinfachtes 2-Körper-Problem (1 massive + 1 vernachlässigbare Masse). Wenn Sie Schwerkraftunterstützung oder Orbit-Matching (z. B. den Transfer zwischen zwei Planeten) verwenden, wird dies viel komplexer. Aber ja, für optimale Ergebnisse sind Abflug und Einsetzen so ziemlich immer prograde / retrograde Verbrennungen, und das führt zu einer Tangente an die Umlaufbahn.
@SF Dies ist nur für das 2-Körper-Problem eine rein theoretische Frage. Sie sagen "fast immer", aber meine Frage ist: Ist es immer so ? :)
Zuerst wollte ich antworten: "Wenn Sie impulsive Verbrennungen mit beliebiger Leistung durchführen können, optimieren Sie den Kraftstoff (nicht die Zeit), dann ja, immer." Aber dann dachte ich an einen speziellen Fall: zwei stark elliptische Bahnen, die sich nur im Argument der Periapsis unterscheiden. Gleiche Exzentrizität, gleiche Längen der kleinen Halbachse und der großen Halbachse, nur mit der Hauptachse, die auf einen anderen Azimut zeigt; nicht weit auseinander. Und ich bin mir nicht mehr sicher.
Ich bin neu in diesem Bereich und unsicher über die vermuteten Grundregeln. Was sind die Beschränkungen für Anfangs- und Endexzentrizitäten? Gibt ϵ 1 , ϵ 2 < 1? Jeder Brennplan beliebiger Größe, Richtung und Dauer ist zulässig, oder nur mehrere diskrete, augenblickliche Impulse? Und die Frage gilt nur für koplanare Umlaufbahnpaare, bei denen eine bitangentiale Übertragung mit einer einzigen Ellipse geringer ist Δ v als jede multielliptische bitangentiale Übertragung? In diesen Umlaufbahnen befinden sich keine massiven Objekte, und es ist eine beliebig lange Transferzeit zulässig?
@uhoh 1. Alle Exzentrizitäten sind =< 1 2. Es wird angenommen, dass Verbrennungen sofort auftreten. 3. ja, per Definition koplanar, und teilweise ja, wo eine Übertragung niedriger ist Δ v als eine bielliptische Übertragung. 4. Das einzige Objekt mit einer signifikanten Masse ist die zentrale Punktmasse, und 5. Beliebig lange Transferzeiten sind erlaubt.
Ich habe gerade die radiale Verbrennung zwei tangentiale Verbrennungen in KSP getestet, und ich habe mich geirrt. Das radiale Brennen mit 50 m/s kann durch 2 tangentiale Brennen mit jeweils etwa 20 m/s ersetzt werden, die etwa auf halbem Weg zwischen den Kreuzungspunkten der Apoapsis und der Nebenachse durchgeführt werden. .
@SF. Ich habe jetzt viele Fälle (auf dem Papier) ausprobiert, um zu sehen, ob ich eine Ausnahme finden kann. Bisher negativ. Der Grund, warum ich diese Frage interessant finde, ist, dass sie das Problem wiederverwendet, die optimale Übertragung von Zeit, Größe und Richtung eines Manövers auf nur Zeit und Größe zu finden.
"Ich schließe die Fälle aus, in denen ein bi-elliptischer Transfer ideal ist, da die Antwort dann immer ein Manöver mit unendlicher Apoapsis ist." Bedeutet dies, dass immer dann, wenn mehr als zwei Impulse optimal sind, ein Manöver mit unendlicher Apoapsis optimal ist. Mit anderen Worten, schließen Sie nur Fälle ein, in denen die optimale Übertragung zwei oder einen Impuls hat?

Antworten (1)

Danke für die Verlinkung zu meinem pdf!

Ich bin immer davon ausgegangen, dass bi-tangentiale Übertragungen das geringste Delta V aufweisen. Aber Ihre Frage hat mir klar gemacht, dass meine Annahme eine Vermutung ist.

Mein Ziel ist es, eine allgemeine Gleichung für Delta V zu finden, sie zu integrieren und dann zu hoffen, dass die Minima der Mannigfaltigkeit bitangentialen Umlaufbahnen entsprechen.

Manchmal lohnt es sich, mit Kegelschnitten zu spielen. Es ist eine Freude, wenn sich komplizierte Gleichungen auf etwas Einfaches und Elegantes reduzieren. Aber bisher war ich frustriert. Das Stochern und Anstoßen an diesen Gleichungen hat nur dazu geführt, dass sie wie ein wütender Pufffisch anschwellen. Ich teile meine Bemühungen in der Hoffnung, dass die Leute mir dabei helfen, einen Weg durch dieses Dornendickicht zu schlagen. Ich werde dies ergänzen, sobald ich Zeit habe.

Einheiten

Mit AU (Astronomical Unit) und Jahren lässt sich der Gravitationsparameter GM der Sonne einfach beschreiben: μ = 4 π 2 EIN U 3 / j e a r 2

Kreisbahngeschwindigkeit wird beschrieben als v = μ / ( r EIN U )

Für die Erdumlaufbahn r = 1. Plugging μ und das r der Erde in das obige, erhalten wir die Geschwindigkeit der Erde ist 2 π EIN U / j e a r was beruhigend ist.

Geschwindigkeit an beliebigen Rendezvous-Punkten finden

Auswählen eines beliebigen Rendezvous-Punktes P 1 legt eine Menge fest r 1 EIN U . Diese Menge r 1 EIN U ist Abstand von P 1 sich sonnen. P 1 ist der Rendezvouspunkt, an dem sich Transfer- und Zielbahn schneiden. ( P 0 wird ein Treffpunkt sein, an dem sich die Transfer- und die Abflugbahn kreuzen.)

Transfer- und Zielorbits

Unter Verwendung der vis viva-Gleichung können wir die Geschwindigkeiten der Nutzlast und des Ziels am Punkt P finden.

v = μ ( 2 / ( r EIN U ) − 1 / ( a EIN U ) )

Wobei aAU die Länge der großen Halbachse der Ellipse ist.

Rückruf mit unseren Einheiten μ = 4 π 2 EIN U 3 / j e a r 2 . Die vis viva-Gleichung lautet also:

v = ( 2 π EIN U / j e a r ) ∗ 2 / r − 1 / a

Die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer elliptischen Umlaufbahn ist also die Geschwindigkeit der Erde mal der Geschwindigkeit 2 / r − 1 / a

So...

v p a j l Ö a d = v e a r t h ∗ 2 / r 1 − 1 / a 2

und

v d e s t ich n a t ich Ö n = v e a r t h ∗ 2 / r 1 − 1 / a 1

Flugbahnwinkel

Wir haben die Geschwindigkeiten von Nutzlast und Zielort P 1 aber wir haben keine Richtung. Dazu müssen wir den Unterschied zwischen den Winkeln der Nutzlast und der Zielflugbahn finden. Ich werde diesen Winkel nennen ϕ

Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektoren

Werde versuchen, dies bald zu ergänzen.

Vielen Dank für die direkte Antwort! Ich kann Ihre Argumentation dafür verstehen, wie die von mir ausgeschlossene bi-elliptische Übertragung in gewissem Sinne auch als bi-tangential angesehen werden kann. Das Einbringen einer Neigungsänderung macht dies jedoch zu weit, da ich nicht sicher bin, ob die Hypothese auch für den koplanaren Fall richtig ist. Das Aussteigen aus einem Flugzeug ist aus meiner Sicht grundsätzlich kein tangentiales Manöver.
@Hohmannfan (Tangente googeln…) Scheint neben „nur berühren“ auch Tangente zu bedeuten, in die gleiche Richtung zu gehen. Ich denke, Sie haben Recht, dass Übertragungen zwischen nicht koplanaren Umlaufbahnen nicht bitangential sein können. Im koplanaren Fall fällt mir ein Beweis nicht ein. An dieser Stelle ist mein Glaube also nur eine Meinung.
Mein Kopfgeld läuft bald ab. Dies ist nicht ganz die Antwort, die ich wollte, aber aufgrund Ihrer anderen guten Antworten hier und Ihrer interessanten Arbeit zum Transport von Haltegurten denke ich, dass Sie die 100 Punkte trotzdem verdienen.
@Hohmannfan Danke, aber ich verdiene das Kopfgeld sicher nicht. Ihre Frage hat mich darauf aufmerksam gemacht, dass eine "Tatsache", die ich immer für selbstverständlich gehalten hatte, eigentlich eine unbewiesene Vermutung ist (soweit ich weiß). Seit Sie danach gefragt haben, habe ich nach einem Beweis gesucht (oder widerlegen, dass es sich als nicht wahr herausstellt). Bisher ohne Erfolg.
Nach mehreren Kopfgeldrunden gebe ich den Versuch auf, die Aufmerksamkeit auf die Frage zu lenken, um eine endgültige Antwort zu erhalten. Fall abgeschlossen.
Ich habe an diesem Problem gearbeitet, und ich denke, die Antwort ist im Extremfall nein. Ich kann es noch nicht beweisen, aber ich denke, es ist möglich, einen Oberth-Effekt zu erzielen, der groß genug ist, um vier Verbrennungen am effizientesten zu machen.
Update: Dies ist ein wahrer Satz unter Newtons Mechanik. Unter GR ist es falsch. Das zusätzliche Delta V kommt vom Rahmen, der um ein rotierendes Schwarzes Loch gezogen wird, und selbst dann müssen Sie fast nah genug sein, um damit zu beginnen.
Ist der ideale Übergang zwischen zwei beliebigen ebenen Bahnen immer eine bitangentiale Ellipse?
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