Ist der Polarkoordinatenrahmen nicht inertial?

Betrachten Sie die in Polarkoordinaten ausgedrückte Beschleunigung.

( R ¨ − R φ ˙ 2 ) R ^ + ( R φ ¨ + 2 R ˙ φ ˙ ) φ ^  

Ich verstehe nicht, was die richtige Erklärung für das Vorhandensein dieser Begriffe ist. Ich habe die Idee, dass Polarkoordinaten nur ein Sonderfall eines nicht trägen rotierenden Rahmens sind. Das "Besondere" daran ist, dass der Punkt ständig auf dem Punkt ist X Achse (das ist der achsenorientierte Einheitsvektor R ^ ), die sich ständig dreht. Ist dies der richtige Weg, es zu sehen?

Ich habe auf Wikipedia diese Antwort auf meine Frage gefunden.

Der Begriff R φ ˙ 2 wird manchmal als Zentrifugalbegriff bezeichnet, und der Begriff 2 R ˙ φ ˙ als Coriolis-Term. Obwohl diese Gleichungen eine gewisse Ähnlichkeit in der Form mit den Zentrifugal- und Coriolis-Effekten aufweisen, die in rotierenden Referenzrahmen gefunden werden, sind dies dennoch nicht dieselben Dinge . Insbesondere ist die Winkelgeschwindigkeit, die in den Polarkoordinatenausdrücken erscheint, die des beobachteten Teilchens, φ ˙ , während das in der klassischen Newtonschen Mechanik die Winkelgeschwindigkeit ist Ω eines rotierenden Bezugsrahmens. Die physikalischen Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte treten nur in nicht-trägen Bezugsrahmen auf. Im Gegensatz dazu sind diese Terme, die erscheinen, wenn die Beschleunigung in Polarkoordinaten ausgedrückt wird, eine mathematische Folge der Differentiation ; Diese Begriffe erscheinen überall dort, wo Polarkoordinaten verwendet werden. Insbesondere treten diese Begriffe sogar dann auf, wenn Polarkoordinaten in Trägheitsbezugssystemen verwendet werden , wo die physikalischen Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte niemals auftreten.

Ich habe die Dinge hervorgehoben, die mich am meisten verwirren. Insbesondere wird hier behauptet, dass diese Begriffe nicht als von fiktiven Kräften verursacht zu interpretieren sind, sondern lediglich aus der Differenzierung stammen. Das stimmt, aber ist es nicht dasselbe für den (echten?) Nicht-Inertialrahmen? Um den Ausdruck für die Beschleunigung in Nicht-Inertialsystemen abzuleiten, wird eine Differentiation (die die Variation von Einheitsvektoren berücksichtigt) durchgeführt.

Außerdem heißt es, dass Polarkoordinaten "im Trägheitsbezugssystem verwendet werden", was offensichtlich meiner Vorstellung von Polarkoordinaten widerspricht, wie ich sagte.

Habe ich Wikipedia falsch verstanden oder liege ich falsch, wenn ich Polarkoordinaten als nicht trägen Bezugsrahmen betrachte?

Ich denke, das kann argumentiert werden, da "Trägheitsrahmen" eine sehr physikalische Sache ist, während das, was ich gleich sagen werde, mathematisch ist, aber für mich ist ein Rahmen genau dann inertial, wenn die Basisvektoren parallel entlang sich selbst transportiert werden, oder alternativ, wenn alle Christoffel-Symbol/Verbindungsform-Komponenten verschwinden. Dies ist bei Polarkoordinaten eindeutig nicht der Fall, daher ist das Koordinatensystem von Polarkoordinaten ein Nicht-Inertialsystem.

Antworten (3)

Die Gleichung, die Sie geschrieben haben, geht nicht davon aus, dass sich das Polarkoordinatensystem dreht. Die Ableitung der von Ihnen geschriebenen Gleichung beginnt damit, dass Sie einen Positionsvektor ausdrücken, der vom Ursprung zum sich bewegenden Partikel in der folgenden Form gezogen wird:

(1) R → = R R ^
wo der radiale Einheitsvektor R ^ ist eine Funktion von θ , und wo r und θ sind Funktionen der Zeit t. Dies ist immer die Gleichung für eine beliebige Position, die vom Ursprung zu einem Punkt in der xy-Ebene gezogen wird (da sie immer in Richtung des Einheitsvektors in radialer Richtung zeigt).

Wenn wir die Ableitung von Gl. 1 für den zeitlichen Ortsvektor erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor:

(2) v → = D R → D T = D R D T R ^ + R D R ^ D T = D R D T R ^ + R D R ^ D θ D θ D T = D R D T R ^ + R D θ D T θ ^
Wenn wir diese Gleichung für die Geschwindigkeit nach der Zeit ableiten, erhalten wir Ihre Gleichung für die Beschleunigung.

So kann ein Trägheitsrahmen mit Polarkoordinaten definiert werden und es wird keine fiktive Kraft darin sein. Aber die Christoffel-Symbole verschwinden nicht in Polarkoordinaten, und die Interpretation der Christoffel-Symbole in der geodätischen Gleichung ist eine fiktive Kraft. Es gibt also einen kleinen Widerspruch. Siehst du es...
Meine Interpretation der Christoffel-Symbole für einen Trägheitsrahmen unter Verwendung eines krummlinigen Koordinatensystems ist, dass sie die Auswirkungen der Richtungsänderungen der Koordinateneinheitsvektoren (oder Einheitsvektoren) berücksichtigen. Ich glaube nicht, dass sie eine fiktive Kraft darstellen.
Der obige Kommentar von @Chet Miller ist korrekt. Siehe meine Antwort unten.

Das erste, was Sie tun müssen, ist sich davon zu überzeugen, dass bei einem Teilchen in gleichförmiger Bewegung weder sein Radius noch sein Polarwinkel konstant sein können (im Allgemeinen ist die radiale Bewegung konstant θ aber das ist ein Sonderfall) oder eine konstante erste Ableitung zu haben.

Folge diesen Schritten:

  • Zeichne ein X - j Ursprung auf einem Blatt Papier. Dies ist nur ein Ort zum Messen R von und eine Orientierung zum Messen verwenden θ (gegen den Uhrzeigersinn von der + X Achse wie gewohnt).

  • Zeichnen Sie eine beliebige Linie, die nicht durch diesen Ursprung verläuft, und markieren Sie sie in konstanten Abständen. Die Markierungen stellen die Position eines Objekts in gleichmäßiger Bewegung in regelmäßigen Abständen dar, richtig?

  • Für jede nachfolgende Markierung auf der Zeile (indiziert ich ) Verwenden Sie einen Winkelmesser und ein Lineal, um zu finden R ich Und θ ich . Dies sind die Polarkoordinaten des Objekts bei jedem aufeinanderfolgenden Tick einer Uhr.

  • Parzelle R ich -gegen- ich Und θ ich -gegen- ich und sehen Sie, dass es keine geraden Linien sind, obwohl die Bewegung sowohl gerade als auch gleichförmig ist. Dies sollte ausreichen, um Sie davon zu überzeugen, dass Polarkoordinaten im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten keine gleichförmige Bewegung mit Bewegungsgleichungen mit konstanter Ableitung darstellen.

Mit etwas mehr Arbeit können Sie anhand Ihrer Positionstabelle eine Differenzannäherung vornehmen und die ungefähre Beschleunigung des Objekts mithilfe des ersten Ausdrucks in Ihrem Beitrag berechnen. Es sollte nahe Null kommen (genau Null in der infinitesimalen Grenze).

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihnen Anweisungen geben muss, um zu sehen, wie dieser Nicht-Trägheitsrahmen seine eigenen Begriffe einführt. Ich habe das Gefühl, dass du das bereits verstehst.

Siehe Diskussion in Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten abgeleitet werden? . Der Hauptpunkt ist, dass in einem Inertialsystem die Einheitsvektoren der Polarkoordinaten die Richtung ändern.

Bitte hinterlassen Sie keine doppelten Antworten auf mehrere Fragen. Wenn die Fragen wirklich ähnlich genug sind, dass sie mit demselben beantwortet werden können, können Sie sie als Duplikate kennzeichnen. In diesem Fall haben die Fragen jedoch – obwohl sie ähnlich sind – etwas unterschiedliche Standpunkte, und Ihre Antwort, die anscheinend für die andere Frage verfasst wurde, enthält einige Elemente, die bei einer Antwort auf diese spezielle Frage verwirrend sein können.
Ja. Ich habe meine frühere Antwort geändert, um auf meine Antwort auf eine verwandte Frage zu verweisen, anstatt dieselbe Antwort hier zu wiederholen.
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