Ist dieses Problem in Griffiths E&M-Buch fehlerhaft?

Es gibt ein Problem in Griffiths „Einführung in die Elektrodynamik“, dessen verfügbare „Lösungen“ online alle den Punkt völlig zu verfehlen scheinen. Das genaue Problem, von dem ich spreche, ist Problem 5.12 (4. Ausgabe) oder Problem 5.38 (3. Ausgabe).

Ich fasse das Problem hier nochmal zusammen:

Da sich parallele Ströme gegenseitig anziehen, ist Ihnen vielleicht schon einmal aufgefallen, dass der Strom innerhalb eines einzelnen Drahtes, ausschließlich aufgrund der beweglichen Elektronen, in einem sehr dünnen Strom entlang des Drahtes konzentriert werden muss. In der Praxis verteilt sich der Strom jedoch typischerweise recht gleichmäßig über den Draht. Wie erklären Sie sich das?

Okay, bis jetzt scheint das Problem darin zu bestehen, zu zeigen, dass sich die beweglichen Elektronen entgegen unserer anfänglichen Vermutung tatsächlich gleichmäßig über den Querschnitt des Drahtes ausbreiten. Aber dann geht das Problem weiter und sagt Folgendes:

Wenn die gleichmäßig verteilten positiven Ladungen (Ladungsdichte ρ + ) werden "festgenagelt", und die negativen Ladungen (Ladungsdichte ρ − ) schnell bewegen v (und nichts davon hängt von der Entfernung von der Achse ab) , zeigen Sie das ρ − = − ρ + γ 2 , Wo γ = 1 / 1 − ( v / C ) 2 .

Was?! Im fettgedruckten Text hat Griffiths (scheinbar) den Zweck dieses Problems vereitelt!

Meine Frage ist, kann klassisch gezeigt werden, dass gemäß den Maxwell-Gleichungen (und Symmetrieprinzipien) die Elektronenladungsdichte und / oder die Geschwindigkeit dieser Elektronen unabhängig vom radialen Abstand von der Mittelachse des Drahtes ist? Ich habe versucht, es zu zeigen, aber ich kann nur mit der folgenden Gleichung enden:

v ( S ) C 2 ∫ 0 S ρ ( S ' ) v ( S ' ) S ' D S ' = ∫ 0 S ( ρ + + ρ − ( S ' ) ) S ' D S '

Ab hier, wenn ich vermute ρ − ( S ) Und v ( S ) konstant sind, dann das Ergebnis ρ − = − ρ + γ 2 leicht folgt.

HINWEIS: Dies ist kein Hausaufgabenproblem für eine Klasse von mir, aber selbst wenn dies der Fall wäre, denke ich, dass die Frage immer noch gültig ist.

BEARBEITEN:

Wenn wir davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit unabhängig vom radialen Abstand vom Zentrum ist, können wir zeigen, dass dies impliziert ρ − ( S ) = ρ − (Konstante).

v ( S ) C 2 ∫ 0 S ρ ( S ' ) v S ' D S ' = ∫ 0 S ( ρ + + ρ − ( S ' ) ) S ' D S ' ⟹ 0 = ∫ 0 S ( ρ + + ( 1 − v 2 C 2 ) ρ − ( S ' ) ) 2 π S ' D S '         (für alle  S ) ⟹ 0 = ρ + + ( 1 − v 2 C 2 ) ρ − ( S ) ⟹ ρ − ( S ) = − γ 2 ρ +         (Konstante!)

Vielleicht irre ich mich, aber ich denke, der Punkt des Problems besteht darin, zu zeigen, dass die radiale Dichte konstant ist. Wenn sich parallele Ströme anziehen, sollte im Kern eine größere Dichte vorhanden sein. Die Geschwindigkeit, die von der Entfernung vom Zentrum abhängt, sollte keine Rolle spielen. Weder die positive Ladungsverteilung.
@Diego Wenn das der Punkt des Problems war, warum würde Griffiths dann gleich davon ausgehen, dass die radiale Dichte konstant ist? Am Ende wird behauptet, dass die radiale Dichte nicht vom radialen Abstand abhängt, und dasselbe von der Geschwindigkeit. Meine Frage ist, mit welcher Begründung kann dies als wahr bewiesen werden? Siehe meine Bearbeitung.
Er nahm aber nur die positive Ladungsdichte als konstant an. Stellen Sie sich vor, die Atome seien auf dem Kupferdraht fixiert, aber die Elektronen können sich frei hinein- und herausbewegen.
@Diego Er ging nicht davon aus, dass nur die positive Ladungsdichte konstant ist, und ein kurzer Blick auf die verfügbaren Lösungen online beweist dies. Dem Rat von garyp folgend, werde ich das eigentliche Lösungshandbuch nicht verlinken, aber Sie können es einfach googeln (zB versuchen Sie es mit "Griffiths Einführung in Elektrodynamik-Lösungen").
@garyp Ich wusste nicht, dass es ein Problem ist, illegale Kopien eines Buches hier auf SE zu verlinken . Verzeihung.
Ich weiß, das ist alt, also ist es vielleicht sinnlos, hier zu antworten, aber nur für den Fall ... bei Physics SE haben wir keine absolute Regel gegen das Verlinken auf illegale Kopien. Es ist jedoch etwas verpönt; Die Community sieht es als etwas kitschig an. Es ist besser, einen solchen Link durch einen Link zu einer offiziellen Seite für das Buch (z. B. die Website des Verlags dafür) oder zu einer legalen Kopie, falls verfügbar, zu ersetzen. Wenn beides nicht vorhanden ist, können Sie entweder auf eine illegale Kopie verlinken oder sie überhaupt nicht verlinken. (Beachten Sie, dass es darum geht, die Quelle zu identifizieren , nicht sicherzustellen, dass die Leute eine Kopie davon bekommen können.)
@DavidZ Interessant, dass Sie sich diese alte Frage überhaupt angesehen haben. Ich verstehe dich aber total.
@ArturodonJuan Ja, ich habe es nur gesehen, weil ein anderer Kommentar markiert war.

Antworten (1)

Der Punkt des Problems (und das wird in Griffiths nicht gut erklärt) ist folgender:

Wenn Sie die Dichten annehmen ρ + Und ρ − einheitlich sind, können Sie das ableiten ρ − = − γ 2 ρ + . Sobald Sie dies gefunden haben, können Sie beweisen , dass die Nettokraft auf ein Elektron, das sich entlang des Drahtes bewegt, Null ist. Die magnetische Anziehung zum Zentrum wird durch die dadurch verursachte elektrische Abstoßung genau ausgeglichen ρ − ist größer als ρ + . Dies zeigt, dass die Anordnung ρ − = Konstante ist eine Gleichgewichtsanordnung, da in dieser Anordnung die Nettokraft auf jede Ladung Null ist. Darüber hinaus ist es ein stabiles Gleichgewicht, da eine Erhöhung der Elektronendichte im Zentrum dazu führt, dass Elektronen vom Zentrum weggedrängt werden und umgekehrt. Dieses Problem ist also wirklich nur der erste Schritt, um zu zeigen, warum die Dichte gleichmäßig ist, aber es setzt nicht seine Schlussfolgerung voraus.

Was Sie sagen, macht Sinn, aber was ist mit anderen möglichen Gleichgewichtsanordnungen? Wie kann man definitiv sagen, dass es keine anderen Gleichgewichtszustände gibt? Meine körperliche Intuition sagt mir, dass es tatsächlich der einzige (physikalische) Gleichgewichtszustand ist, aber meine körperliche Intuition gibt mir nicht immer die richtige Antwort.
Und außerdem, wenn das der Zweck des Problems war, wie kommt es dann, dass ich es so einfach beweisen kann (nachdem ich angenommen habe, dass das Geschwindigkeitsprofil konstant ist)? Die Annahme ist überflüssig und wird umgangen.
Ja, das ist eine berechtigte Kritik. Aber Sie sollten diese Kritik an der Strenge in Griffiths im Allgemeinen haben. Dieses Problem soll nicht beweisen, dass es das einzig mögliche Gleichgewicht ist, sondern nur ein Plausibilitätsargument liefern. Ich denke, der eigentliche Punkt ist, Sie dazu zu bringen, über relativistische Elektrodynamik nachzudenken
Ist dieses Problem in Griffiths E&M-Buch fehlerhaft?
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