Perpetuum mobile in elektrischem Dipol, beschränkt auf eine kreisförmige Bahn mit einer Ladung im Zentrum

Schreiben wir das elektrische Feld,$\vec E$

$$\vec E = \dfrac {kQ}{r^2}\hat r$$

Wir kennen also die Kraft auf den Dipol,

$$\begin{align*}\vec F &=(\vec p \cdot \nabla) \vec E\\&=\dfrac {kQ}{r^3} \dfrac{ \partial }{\partial \theta}\hat r\\&=\dfrac {kQ\vec p}{r^3}\\\Rightarrow \vec F &= \dfrac {Q}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{\vec p}{R^3}\end{align*}$$

Nun zum zweiten Teil, damit der Dipol gegen den Uhrzeigersinn geht,$\hat\theta$Richtung muss eine Zentripetalbeschleunigung und ein Drehmoment im Uhrzeigersinn vorhanden sein, wobei die Zwangskraft und die Ladung bereitgestellt werden$Q$bzw. Und dies würde der tangentialen "Vorwärts" -Kraft entgegenwirken und so den Dipol verlangsamen (oder vielmehr verhindern, dass er sich zu drehen beginnt).

Griffith drückt es so schön aus:

Um den Dipol im Kreis laufen zu lassen, muss eine Zentripetalkraft von der Spur ausgeübt werden (wir können genauso gut davon ausgehen, dass sie in der Mitte des Dipols wirkt, und sie ist für das Problem irrelevant), und sie muss darauf gerichtet bleiben in tangentialer Richtung muss ein Drehmoment wirken (das wir durch an beiden Enden gleich große Radialkräfte modellieren könnten). In der Tat, wenn der Dipol die in der Abbildung angegebene Ausrichtung hat und sich in der bewegt$\hat\theta$Richtung, das von ausgeübte Drehmoment$Q$ist im Uhrzeigersinn, während die Rotation gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, also müssen diese Zwangskräfte tatsächlich größer sein als die von Q ausgeübten Kräfte, und die Nettokraft wird in die „rückwärtige“ Richtung wirken – was dazu neigt, den Dipol zu verlangsamen. [Wenn die Bewegung in der ist$−\hat\theta$Richtung, dann werden die elektrischen Kräfte dominieren und die Nettokraft wird in Richtung von p sein, aber dies wird wiederum dazu neigen, sie zu verlangsamen.]