Ist dunkle Energie um ein Schwarzes Loch lokal gekrümmt?

Kurze Antwort: ja. Aber was bedeuten die ursprünglichen "Geraden" jetzt? sie können in der neuen Metrik nicht schön definiert werden, weil die natürlichen geometrischen Einheiten jetzt Geodäten sind und ein Viereck aus vier rechten Winkeln nicht existiert (abgesehen von einer möglichen speziellen Wahl der Ecken). Sie müssen Ihr Volumen richtig definieren (siehe unten)

Lange Antwort: Um Ihre Frage präzise zu beantworten, sollten wir die Metrik eines Universums mit positiver kosmologischer Konstante und einem Schwarzen Loch haben, was eigentlich nicht schwer zu lösen ist!

Die Lösung ist eine nichtlineare Mischung aus de Sitter- und Schwarzschild-Metriken:

$ds^2 = - \left( 1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right) dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right)} + r^2 d\Omega$

(Hinweis: Wenn Sie möchten, dass die Größe Ihres Schwarzen Lochs erheblich kleiner als Ihr Universum ist, können Sie den räumlichen Teil der Metrik erweitern$d\,\vec{r}^2 = d\,\vec{r}^2_{schwarzschild} - \frac{\Lambda}{3}\frac{r^2 dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} \right)^2}$)

Um nun die Menge an dunkler Energie in einem beliebigen räumlichen Volumen zu finden, müssen Sie die Grenze dieses Volumenelements in einem bestimmten Bezugsrahmen angeben, da das räumliche Volumen "keine relativistische Invariante" ist. Der natürliche Rahmen für uns ist der eines Beobachters, der sich mit dem Schwarzen Loch bewegt und sich asymptotisch von ihm entfernt. Für einen solchen Beobachter definieren Sie nun die Grenze eines Volumens$\mathcal{V}$, und berechne letzteres als

$\mathcal{V} = \int_\mathcal{V}\frac{r^2 drd\Omega}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 }}$

Schließlich ist die Menge an dunkler Energie in einem bestimmten Volumen angemessen zu definieren$E = \Lambda\mathcal{V}$

Wichtiger Hinweis: Dieses Koordinatensystem ist natürlich, um ein Volumen zu definieren, das durch bestimmte Entfernungen angegeben ist, beispielsweise von der Singularität des Schwarzen Lochs (deren Grenze als Oberfläche definiert ist$r(\theta,\phi)$), deshalb ist die Antwort zeitunabhängig. Wenn Sie jedoch die Lautstärke durch die Position von mitbewegten Sternen im Sitzer definieren möchten, wird die Lautstärke exponentiell ansteigen$e^{\Lambda t}$, und Sie müssen ein anderes Koordinatensystem als das dargestellte verwenden, das zum Auswählen von Zeitscheiben geeignet ist, und Sie werden, wie es für De-Sitter-Raum typisch ist, eine exponentiell ansteigende Menge an dunkler Energie in einem so definierten Volumen haben.