Ist es möglich zu erkennen, ob sich Umlaufbahnen schneiden oder nicht und wo sie sich schneiden, wenn Sie Keplersche Elemente (2D) kennen?

Question

Ist es möglich zu erkennen, ob sich Umlaufbahnen schneiden oder nicht und wo sie sich schneiden, wenn Sie Keplersche Elemente (2D) kennen?

Kosmos
Orbital-Elemente
Orbital-Mechanik
Himmelsmechanik
Kollisionsvermeidung

Robotex

Ich habe zwei Umlaufbahnen und kenne ihre keplerschen Elemente. Ist es möglich, Positionen zu finden, an denen sich zwei Umlaufbahnen kreuzen, falls diese Positionen existieren?

Ist es möglich, wenn sich Raumfahrzeuge auf Umlaufbahnen verschiedener Körper befinden: dh Umlaufbahn eines Raumfahrzeugs um die Sonne und Umlaufbahn eines Raumfahrzeugs um die Erde, Mondumlaufbahn und Erdumlaufbahn, hyperbolische Flugbahn eines Asteroiden und Umlaufbahn eines Raumfahrzeugs um einen Planeten?

Ich brauche es, um einen Kollisionsvermeidungsalgorithmus für Raumfahrzeuge in 2D von oben nach unten zu erstellen.

äh

Was bedeutet „Kreuzung“? Wenn die Bahnen 2D sind (dh auf Papier gezeichnet), dann ist die Kreuzung dasselbe wie die Kreuzung, und es passiert, wenn sie den gleichen Radius haben (außer wenn sie sich gerade perfekt berühren (kussen oder oskulieren)). Aber was bedeutet es in 3D? Müssen sie in genau derselben Ebene liegen, um sie zu überqueren? (dh 2D) oder bedeutet es nur, dass sich diejenige ändert, die der Mitte am nächsten ist?

Robotex

"es passiert, wenn sie den gleichen Radius haben" - es passiert, wenn sie unterschiedliche Exzentrizität und große Halbachse haben.

Robotex

„Aber was bedeutet das in 3D? Müssen sie in genau derselben Ebene liegen, um sie zu überqueren?“ Ich meine damit, nach Möglichkeit die Kollision zwischen zwei Raumfahrzeugen zu erkennen

äh

Ich sehe, Sie fragen nach mehr als den Punkten, an denen sich die Umlaufbahnen schneiden. Sie möchten wirklich über Konjunktionen nachdenken, wenn sich die beiden Objekte gleichzeitig am Schnittpunkt befinden? So etwas wie algorithmische Methoden oder Techniken, um Konjunktionen in Ensembles mit hohen N Kepler-Elementen zu finden? oder vielleicht Was ist das numerische Verfahren, um die nächstnächste Annäherung zwischen zwei Körpern auf Kepler-Umlaufbahnen zu finden?

Robotex

@uhoh Es kann auf verschiedene Weise gelöst werden. Wenn ich eine Liste von Objekten habe, die sich gerade in meiner Nähe befinden, und Umlaufbahnschnittpunkten jedes Objekts, kann ich überprüfen, ob sich dieser Punkt im aktuellen Moment in meiner Nähe befindet, und wenn er in der Nähe ist, kann ich berechnen, in welcher Zeit dieses Objekt ist passiert diesen Punkt. Wenn ich mich zu diesem Zeitpunkt an einem anderen Ort befinde, ist die Kollision unmöglich und ich muss sie nicht vermeiden

äh

Wie auch immer Sie es tun, es wird "Konjunktionserkennung" genannt, und das Schwierigste daran ist, dass die Orbitalelemente für jedes Element eine Unsicherheit aufweisen. Es gibt also keinen einzigen „Schnittpunkt“. Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei zufällige Umlaufbahnen genau schneiden, mathematisch gleich Null. Die Herausforderung besteht darin, dass beide Umlaufbahnen Ungewissheit in ihren Elementen enthalten , sodass Sie wirklich zwei Wahrscheinlichkeitswolken haben, die sich gegenseitig durchdringen. Ich empfehle Ihnen, einen Blick auf die verlinkten Seiten zu werfen.

Antworten (2)

Ist es möglich zu erkennen, ob sich Umlaufbahnen schneiden oder nicht und wo sie sich schneiden, wenn Sie Keplersche Elemente (2D) kennen?

Was bedeutet „Kreuzung“? Wenn die Bahnen 2D sind (dh auf Papier gezeichnet), dann ist die Kreuzung dasselbe wie die Kreuzung, und es passiert, wenn sie den gleichen Radius haben (außer wenn sie sich gerade perfekt berühren (kussen oder oskulieren)). Aber was bedeutet es in 3D? Müssen sie in genau derselben Ebene liegen, um sie zu überqueren? (dh 2D) oder bedeutet es nur, dass sich diejenige ändert, die der Mitte am nächsten ist?
"es passiert, wenn sie den gleichen Radius haben" - es passiert, wenn sie unterschiedliche Exzentrizität und große Halbachse haben.
„Aber was bedeutet das in 3D? Müssen sie in genau derselben Ebene liegen, um sie zu überqueren?“ Ich meine damit, nach Möglichkeit die Kollision zwischen zwei Raumfahrzeugen zu erkennen
Ich sehe, Sie fragen nach mehr als den Punkten, an denen sich die Umlaufbahnen schneiden. Sie möchten wirklich über Konjunktionen nachdenken, wenn sich die beiden Objekte gleichzeitig am Schnittpunkt befinden? So etwas wie algorithmische Methoden oder Techniken, um Konjunktionen in Ensembles mit hohen N Kepler-Elementen zu finden? oder vielleicht Was ist das numerische Verfahren, um die nächstnächste Annäherung zwischen zwei Körpern auf Kepler-Umlaufbahnen zu finden?
@uhoh Es kann auf verschiedene Weise gelöst werden. Wenn ich eine Liste von Objekten habe, die sich gerade in meiner Nähe befinden, und Umlaufbahnschnittpunkten jedes Objekts, kann ich überprüfen, ob sich dieser Punkt im aktuellen Moment in meiner Nähe befindet, und wenn er in der Nähe ist, kann ich berechnen, in welcher Zeit dieses Objekt ist passiert diesen Punkt. Wenn ich mich zu diesem Zeitpunkt an einem anderen Ort befinde, ist die Kollision unmöglich und ich muss sie nicht vermeiden
Wie auch immer Sie es tun, es wird "Konjunktionserkennung" genannt, und das Schwierigste daran ist, dass die Orbitalelemente für jedes Element eine Unsicherheit aufweisen. Es gibt also keinen einzigen „Schnittpunkt“. Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei zufällige Umlaufbahnen genau schneiden, mathematisch gleich Null. Die Herausforderung besteht darin, dass beide Umlaufbahnen Ungewissheit in ihren Elementen enthalten , sodass Sie wirklich zwei Wahrscheinlichkeitswolken haben, die sich gegenseitig durchdringen. Ich empfehle Ihnen, einen Blick auf die verlinkten Seiten zu werfen.

Überhaupt niemand · Answer 1

Es ist möglich, Schnittpunkte von Umlaufbahnen um denselben Planeten durch Polarkoordinaten zu finden

In der Polaransicht nimmt die Umlaufbahn Gestalt an :

R (θ) = \frac{A \times (1 - e^{2})}{1 - e \times \cos (θ - ϕ)}

$r(\theta) = \frac{a \times(1-e^2)}{1-e \times \cos(\theta - \phi)}$

Wir suchen nach Kreuzungen, dh $r_1 = r_2$ :

R_{1} (θ) = R_{2} (θ)

$r_1(\theta)=r_2(\theta)$

\frac{A_{1} \times (1 - e_{1}^{2})}{1 - e_{1} \times \cos (θ - ϕ_{1})} = \frac{A_{2} \times (1 - e_{2}^{2})}{1 - e_{2} \times \cos (θ - ϕ_{2})}

$\frac{a_1 \times (1-e_1^2)}{1-e_1\times \cos(\theta - \phi_1)} = \frac{a_2 \times (1-e_2^2)}{1-e_2\times \cos(\theta - \phi_2)}$

A_{1} \times (1 - e_{1}^{2}) \times (1 - e_{2} \times \cos (θ - ϕ_{2})) = A_{2} \times (1 - e_{2}^{2}) \times (1 - e_{1} \times \cos (θ - ϕ_{1}))

$a_1\times(1-e_1^2)\times \bigl(1-e_2\times \cos(\theta - \phi_2)\bigr) = a_2\times(1-e_2^2)\times \bigl(1-e_1\times \cos(\theta - \phi_1)\bigr)$

A_{1} \times (1 - e_{1}^{2}) - A_{2} \times (1 - e_{2}^{2}) = - A_{2} \times (1 - e_{2}^{2}) \times e_{1} \times \cos (θ - ϕ_{1}) + A_{1} \times (1 - e_{1}^{2}) \times e_{2} \times \cos (θ - ϕ_{2})

$a_1\times(1-e_1^2)-a_2\times (1-e_2^2) = - a_2\times (1-e_2^2) \times e_1 \times \cos(\theta - \phi_1) + a_1\times(1-e_1^2)\times e_2 \times \cos(\theta - \phi_2)$ Jetzt wird diese lange Gleichung komprimiert.
Lassen

A

$A$ Seien Sie die linke Seite und

B_{1}

$B_1$ Und

B_{2}

$B_2$ seien die Koeffizienten vor Kosinus:

A = A_{1} \times (1 - e_{1}^{2}) - A_{2} \times (1 - e_{2}^{2})

$A = a_1\times(1-e_1^2)-a_2\times (1-e_2^2)$

B_{1} = - A_{2} \times (1 - e_{2}^{2}) \times e_{1}

$B_1 = - a_2\times (1-e_2^2) \times e_1$

B_{2} = A_{1} \times (1 - e_{1}^{2}) \times e_{2}

$B_2 = a_1\times(1-e_1^2)\times e_2$ Funktion nimmt Gestalt an:

A = B_{1} \times \cos (θ - ϕ_{1}) + B_{2} \times \cos (θ - ϕ_{2})

$A = B_1 \times \cos(\theta - \phi_1)+B_2\times \cos(\theta - \phi_2)$ Beide Kosinusse haben die gleiche Frequenz, können also kombiniert werden :

B = \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + 2 \times B_{1} \times B_{2} \times \cos (ϕ_{1} - ϕ_{2})}

$B = \sqrt{B_1^2+B_2^2+2\times B_1\times B_2\times \cos(\phi_1-\phi_2)}$

Φ = A R C T G (\frac{B_{1} \times \cos (ϕ_{1}) + B_{2} \times \cos (ϕ_{2})}{B_{1} \times Sünde (ϕ_{1}) + B_{2} \times Sünde (ϕ_{2})})

$\Phi = arctg(\frac{B_1\times \cos(\phi_1)+B_2\times\cos(\phi_2)}{B_1\times \sin(\phi_1)+B_2\times\sin(\phi_2)})$ Und wir bekommen

A = B \times Sünde (θ - Φ)

$A = B\times \sin(\theta-\Phi)$ Aus denen

θ = \arcsin (\frac{A}{B}) + Φ

$\theta = \arcsin(\frac{A}{B})+\Phi$ (Arcsin kann 0,1 oder 2 Wurzeln bekommen) Daraus können Sie bekommen

r = r (θ)

$r = r(\theta)$ und von beiden Polarkoordinaten können Sie die Position in jeder gewünschten Form erhalten.

Was "Umlaufbahnen um verschiedene Körper" betrifft, wird es normalerweise durch Bewegen von Objekten "zwischen Einflusssphären" (denken Sie an KSP) gelöst, sodass nur Umlaufbahnen desselben Körpers kollidieren können.
Andernfalls kann die Ellipse-Ellipse-Kollision wahrscheinlich über das Begrenzungsrechteck angenähert werden (wenn Sie es nicht bereits zum Zeichnen verfolgen, wird es über die kartesische Funktion von Ellipse gefunden : Fokus ist bei $x = -e\times a$ , $y = 0$ ; Grenzen des Rechtecks sind bei $x = \pm a$ Und $y=\pm a\times \sqrt{1-e^2}$ , Rückkehr zu globalen Koordinaten über Rotationsmatrix und Körperkoordinaten-Offset)
Und die Rechteck-Rechteck-Kollisionsprüfung ist entweder AABB oder 4x4 line_segment-line_segment checks.

FWIW, für zwei Ebenen um dieselbe Primärfarbe können Sie die Linie finden, an der sich die Ebenen aus dem Kreuzprodukt der Normalen der Ebenen schneiden.
Ich gebe zu, dass es aus der Art und Weise, wie diese Frage geschrieben ist, nicht ganz klar ist, aber aus ihren anderen Fragen zu diesem Thema bin ich mir ziemlich sicher, dass das OP mögliche Kollisionen finden möchte. Sie arbeiten jedoch mit einer 2D-Draufsicht.
Funktioniert dieser Trick mit Hyperbel und Hyperbelschnittpunkt?
@Robotex Der Schnittpunkt von Polarkoordinaten sollte genauso funktionieren ... Ich denke, es kann ein Problem geben, wenn sich der Schnittpunkt im "negativen" zweiten Bogen der Hyperbel befindet -> Sie müssen dies überprüfen $r(\theta) > 0$ Am Ende

Ryan C · Answer 2

Wo sich die Umlaufbahnen kreuzen, ist nur ein Teil der Einschätzung der Kollisionswahrscheinlichkeit. Sie müssen auch die Zeit kennen , zu der die beiden Raumfahrzeuge denselben Punkt erreichen. Wenn die Kreuzung nicht gleichzeitig mit beiden Raumfahrzeugen stattfindet, kann es zu keiner Kollision kommen.

Beispielsweise ist es absolut sicher, mehrere Satelliten in identische Umlaufbahnen zu bringen, die jedoch durch einen geringen zeitlichen Abstand voneinander getrennt sind. Genau das wird in vielen Betriebskonstellationen gemacht, von denen die extremste StarLink ist. Sie haben sechzig Satelliten, die sich jede Umlaufbahn teilen, aber sie werden niemals kollidieren, weil sie gleichmäßig um den Kreis verteilt sind und sich alle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen.

In ähnlicher Weise können sich mehrere Sätze kreisförmiger Umlaufbahnen sicher kreuzen, solange die Satelliten in jeder Ebene richtig phasengesteuert sind. Wenn Sie beispielsweise wieder StarLink auswählen, können sich sechs Kreise mit sechzig Satelliten alle an einem Punkt kreuzen und dennoch einen Abstand von mindestens 1 Grad zwischen ihnen einhalten, wenn ein Kreis bei 0, 6, 12 ... Grad mittlerer Bewegung durch die Kreuzung geht , die nächste bei 1, 7, 13 ..., die nächste bei 2, 8, 14 ... usw. Die Standardmethode, um eine davon zu entwerfen, ist die Walker Star- Konstellation.

Unterschiedliche große Halbachsen oder unterschiedliche Exzentrizitäten können je nach zeitlicher Phasenlage jeweils allein zur Kollision führen. Beide zusammen müssen es nicht verursachen, abhängig von Umlaufbahnebenen und Zeitphasen. Umlaufbahnen in verschiedenen Ebenen können sich kreuzen und haben in der Vergangenheit tatsächliche Kollisionen verursacht. Das Problem bei der Kollisionsvermeidung (auch Konjunktionsbewertung genannt) ist, dass die Kepler-Gleichung, die das Zeitverhalten beschreibt, für nicht kreisförmige Umlaufbahnen nicht analytisch lösbar ist. Daher kommen Sie um eine numerische Lösung nicht herum und stellen schnell fest, dass Sie die Wahrscheinlichkeit einer tatsächlichen Kollision ohne einen guten Propagator und eine gute Kovarianzschätzung nicht vorhersagen können.

Sie haben es geschafft zu sagen "diese Frage ist dumm und eine komplexere Version davon ist unmöglich" und gleichzeitig die Frage selbst nicht beantwortet ... wunderbar
@NooneAtAll Nein, ich sagte, diese Frage ist unvollständig, aber hier sind einige der anderen Dinge, die Sie berücksichtigen müssen, wenn Sie ein nützliches Werkzeug für sich selbst erstellen möchten.
Richtig, Sie können die Kepler-Gleichung nicht umkehren $M=E-e\sin E$ analytisch. Aber wenn Sie den Exzenterwinkel kennen $E$ eines möglichen Kollisionspunkts ist es einfach, die mittlere Anomalie zu erhalten $M$ , und damit die Zeit, in der der Körper diesen Winkel erreicht. In Wirklichkeit ist es natürlich komplizierter, weil tatsächliche Körper und Raumfahrzeuge des Sonnensystems keine unveränderlichen keplerschen Elemente haben und die Elemente, die wir haben, nicht bis auf die Abmessungen eines Raumfahrzeugs genau sind.
Sieht so aus, als ob diese Position gefunden werden kann, indem man ein System aus zwei Ellipsengleichungen löst. Und die Zeit kann durch die Formel der Umlaufzeit gefunden werden, weil wir die Anfangsposition und die Position des Schnittpunkts kennen
Ja, das funktioniert, aber nur, wenn Ihre Umlaufbahnen tatsächlich Ellipsen sind. Wenn Sie ein Raumschiff haben, das eine nicht kugelförmige Erde umkreist, oder eines mit Dichteschwankungen (z. B. Ozeane vs. Berge), oder die Sonne oder der Mond existieren, oder Sie den Luftwiderstand oder den Sonnenstrahlungsdruck oder viele andere reale Effekte berücksichtigen, Sie werden feststellen, dass die resultierenden Umlaufbahnen keine Ellipsen sind und sich nicht genau wiederholen, also müssen Sie einen Differentialgleichungslöser programmieren oder lernen, ihn zu verwenden (fast jeder, dem Sie begegnen, ist ein Wrapper um ein altes Fortran). sowohl die Bahnen als auch die Zeiten numerisch bestimmen.
@RyanC "Sie werden feststellen, dass die resultierenden Bahnen keine Ellipsen sind" - das ist kein Problem für mich. Das Raumfahrzeug verfügt über einen Algorithmus zur Kompensation von Störungen durch den Motor

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