Ist meine Interpretation der Definition der freien Variablen korrekt?

Question

Ist meine Interpretation der Definition der freien Variablen korrekt?

Logik
Mathematik
Prädikatenlogik

Nethese

Ich schreibe mir ein paar Notizen zur Logik und bin auf den Abschnitt über Quantifizierung gestoßen, nämlich dass Quantoren Variablen binden. Ich habe über einen Weg nachgedacht, der mir hilft zu verstehen, warum Quantifizierer Variablen binden, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob es richtig ist. Habe ich Recht, wenn ich sage, dass freie Variablen es einer Aussage ermöglichen, mehrere zu ersetzen? Ich habe meine Notizen unten aufgeschrieben.

~~~

„Wenn wir eine Aussage über das Formular machen $\forall x\mathbf{P}(x)$ , $\exists x\mathbf{P}(x)$ , oder $\exists!x\mathbf{P}(x)$ dann machen wir eigentlich keine Aussage, die unterschiedliche Wahrheitswerte für unterschiedliche Werte von haben kann $x$ . Wenn man sagt

$\forall x(x\in\mathbb{Z})$

wenn das Universum des Diskurses etwas größer ist als $\mathbb{Z}$ , dann können wir mit Sicherheit sagen, dass diese Aussage falsch ist, weil es einen Wert von geben muss $x$ was keine ganze Zahl ist. Wir sagen, dass Quantifizierer $bind$ Variablen. Wenn wir haben:

$\forall x\exists y(x=y+z)$

dann können wir das beides sagen $x$ Und $y$ gebunden sind, und $z$ ist frei, da kein Quantor angehängt wurde $z$ . Grundsätzlich könnte die Gültigkeit der Aussage davon abhängen $z$ , obwohl in Wirklichkeit wenn $x,y\,\textrm{and}\, z$ wären reelle Zahlen, wäre diese Aussage immer wahr.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass, wenn eine Anweisung freie Variablen enthält, es tatsächlich mehrere Anweisungen auf einmal sind, sodass wir aus dem obigen Beispiel mehrere Anweisungen extrahieren können:

$\forall x\exists y(x=y+1)$

$\forall x\exists y(x=y+2)$

$\vdots$

$\forall x\exists y(x=y+2^{50})$

$\vdots$

Obwohl also die Aussage in jedem Fall wahr ist, können sich die Wahrheitswerte grundsätzlich unterscheiden. Wenn wir alle freien Variablen aus unserer Formel entfernen wollten, könnten wir sagen:

$\forall x\forall z\exists y(x=y+z)$

Auch hier achten wir wieder auf die Position unserer Quantifizierer, damit wir nicht sagen, dass es einen einzigen Wert von gibt $y$ was für jeden Wert von funktionieren würde $z$ ."

~~~

Wenn Ihnen irgendetwas anderes an meinen Notizen sofort als falsch auffällt, würde ich mich freuen, wenn Sie auch darauf hingewiesen würden. :)

Reue

Das einzige, was mir etwas zweifelhaft vorkommt, ist "wenn eine Anweisung freie Variablen enthält, dann sind es tatsächlich mehrere Anweisungen auf einmal" .

Nethese

Mm, da bin ich skeptisch, ich frage mich, ob es nicht richtig ist, das zu sagen

DanielV

Betrachten Sie die Aussage

π < 4

$\pi < 4$ . Würdest du anrufen

π

$\pi$ eine ungebundene Variable? Würden Sie sagen, dass es sich um mehrere Aussagen auf einmal handelt?

Nethese

Nein, das ist eine Aussage

Karl Mummert

@DanielV: im Kontext der Logik erster Ordnung,

π

$\pi$ ist eine Konstante, keine Variable.

Nethese

Ja, ich war mir nicht ganz sicher, wohin du damit wolltest...

DanielV

@CarlMummert Stimme zu, aber im Kontext von FOL gibt es sowieso keine freie Variable.

Karl Mummert

@DanielV: in der Formel "

x = x

$x = x$ ",

x

$x$ ist sicherlich eine freie Variable. Ich bin mir nicht sicher, was Sie meinen, dass es so etwas nicht gibt.

Mauro ALLEGRANZA

Was wir heute „offene“ Formel nennen, also eine Formel wie

(x = 0)

$(x=0)$ mit einem freien Vorkommen der Variable

x

$x$ wurde von Russell eine Aussagenfunktion genannt . Wenn wir uns einig sind, dass ein Satz (oder Satz) etwas ist, das einen bestimmten Wahrheitswert hat, eine prop.function

φ (x)

$\varphi(x)$ ist ein Ausdruck ohne eindeutigen Wahrheitswert, der mit einer Referenz für die Variable "ergänzt" wird

x

$x$ , dh mit der Ersetzung einer Konstante (eines "Namens") anstelle von

x

$x$ , erwerben einen bestimmten Wahrheitswert.1/2

Mauro ALLEGRANZA

In meinem trivialen Beispiel mit

(x = 0)

$(x=0)$ als

φ (x)

$\varphi(x)$ , wenn wir ersetzen

x

$x$ mit

0

$0$ wir bekommen den Satz

(0 = 0)

$(0=0)$ , was wahr ist , während mit der Substitution von

1

$1$ anstelle von

x

$x$ wir bekommen :

(1 = 0)

$(1=0)$ , was falsch ist . 2/2

Nethese

Mmm, also ist es in Ordnung, es anzusehen

Φ (x)

$\Phi(x)$ als mehrere unterschiedliche Aussagen mit vielleicht unterschiedlichen Wahrheitswerten?

Nethese

@MauroALLEGRANZA

Mauro ALLEGRANZA

@Nethesis - Ich persönlich stimme der Ansicht "mehrere verschiedene Aussagen in einer" nicht zu ... Ich betrachte sie lieber als mathematische Funktion

f (x)

$f(x)$ definiert durch den "Ausdruck" :

x^{2} + 5

$x^2+5$ . Es ist ein "Rezept", um für jeden (zulässigen) Eingabewert einen Ausgabewert zu berechnen: für Eingabe

x := 5

$x:=5$ wir haben Ausgang

30

$30$ usw. Eine offene Formel ist also ein Rezept zur Berechnung von Wahrheitswerten; die offene Formel "

x

$x$ ist ein Philosoph" gilt für Input

x :=

$x:=$ Plato und falsch für die Eingabe

x :=

$x:=$ Dracula.

Nethese

@MauroALLEGRANZA Okay, wie wäre es mit "Wenn eine Aussage freie Variablen enthält, kann man mehrere verschiedene Aussagen extrahieren, die einen bestimmten Wahrheitswert aus dieser Aussage haben, also könnten wir für das obige Beispiel extrahieren: ..."

Antworten (2)

Ist meine Interpretation der Definition der freien Variablen korrekt?

Das einzige, was mir etwas zweifelhaft vorkommt, ist "wenn eine Anweisung freie Variablen enthält, dann sind es tatsächlich mehrere Anweisungen auf einmal" .
Mm, da bin ich skeptisch, ich frage mich, ob es nicht richtig ist, das zu sagen
Betrachten Sie die Aussage $\pi < 4$ . Würdest du anrufen $\pi$ eine ungebundene Variable? Würden Sie sagen, dass es sich um mehrere Aussagen auf einmal handelt?
@DanielV: im Kontext der Logik erster Ordnung, $\pi$ ist eine Konstante, keine Variable.
Ja, ich war mir nicht ganz sicher, wohin du damit wolltest...
@CarlMummert Stimme zu, aber im Kontext von FOL gibt es sowieso keine freie Variable.
@DanielV: in der Formel " $x = x$ ", $x$ ist sicherlich eine freie Variable. Ich bin mir nicht sicher, was Sie meinen, dass es so etwas nicht gibt.
Was wir heute „offene“ Formel nennen, also eine Formel wie $(x=0)$ mit einem freien Vorkommen der Variable $x$ wurde von Russell eine Aussagenfunktion genannt . Wenn wir uns einig sind, dass ein Satz (oder Satz) etwas ist, das einen bestimmten Wahrheitswert hat, eine prop.function $\varphi(x)$ ist ein Ausdruck ohne eindeutigen Wahrheitswert, der mit einer Referenz für die Variable "ergänzt" wird $x$ , dh mit der Ersetzung einer Konstante (eines "Namens") anstelle von $x$ , erwerben einen bestimmten Wahrheitswert.1/2
In meinem trivialen Beispiel mit $(x=0)$ als $\varphi(x)$ , wenn wir ersetzen $x$ mit $0$ wir bekommen den Satz $(0=0)$ , was wahr ist , während mit der Substitution von $1$ anstelle von $x$ wir bekommen : $(1=0)$ , was falsch ist . 2/2
Mmm, also ist es in Ordnung, es anzusehen $\Phi(x)$ als mehrere unterschiedliche Aussagen mit vielleicht unterschiedlichen Wahrheitswerten?
@Nethesis - Ich persönlich stimme der Ansicht "mehrere verschiedene Aussagen in einer" nicht zu ... Ich betrachte sie lieber als mathematische Funktion $f(x)$ definiert durch den "Ausdruck" : $x^2+5$ . Es ist ein "Rezept", um für jeden (zulässigen) Eingabewert einen Ausgabewert zu berechnen: für Eingabe $x:=5$ wir haben Ausgang $30$ usw. Eine offene Formel ist also ein Rezept zur Berechnung von Wahrheitswerten; die offene Formel " $x$ ist ein Philosoph" gilt für Input $x:=$ Plato und falsch für die Eingabe $x:=$ Dracula.
@MauroALLEGRANZA Okay, wie wäre es mit "Wenn eine Aussage freie Variablen enthält, kann man mehrere verschiedene Aussagen extrahieren, die einen bestimmten Wahrheitswert aus dieser Aussage haben, also könnten wir für das obige Beispiel extrahieren: ..."

Karl Mummert · Answer 1

In Bezug auf das Ersetzen mehrerer Aussagen durch eine Aussage lautete eine ältere Notation für die Quantoren:

\underset{X}{⋁} (X = 3) für (\exists X) [X = 3]

$\bigvee_x ( x = 3) \qquad \text{ for } \qquad (\exists x) [ x = 3]$

\underset{X}{⋀} (X = 3) für (\forall X) [X = 3]

$\bigwedge_x ( x = 3) \qquad \text{ for } \qquad (\forall x) [ x = 3]$

Die Idee ist das $\vee$ steht für "oder", $\wedge$ steht für „und“, und die Quantoren wurden als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen mit einer Konjunktion oder Disjunktion für jedes Element des Modells angesehen.

Ja, wenn also alle Variablen durch Quantoren gebunden sind, gibt es nur eine Aussage, wenn auch lange. Aber wenn es irgendwelche freien Variablen gibt, dann ist diese eine Aussage tatsächlich mehrere auf einmal.
Nein, @Nethesis . $(x^2 = 4)$ ist eine Aussage. Es gibt zwei reale Werte, für die es wahr ist, und unendlich viele, für die es falsch ist. Es ist jedoch nur eine Aussage.
@GrahamKemp Okay, also ist diese Formulierung weniger kontrovers: Wenn eine Aussage freie Variablen enthält, kann man aus dieser Aussage mehrere verschiedene Aussagen extrahieren, die einen bestimmten Wahrheitswert haben, also könnten wir für das obige Beispiel extrahieren: ... "?
@Nethesis Ich würde einfach sagen, dass der Wahrheitswert der Aussage eine Funktion der bestimmten Werte der ungebundenen Variablen ist (oder sind), die außerhalb der Aussage definiert sind.
Ich erinnere mich, dass ich diese Symbole in der High School verwendet habe, aber als ich an die Universität kam, musste ich sie verwenden $\exists$ Und $\forall$ . Ich frage mich, was der Grund für die Änderung dieser Symbole war.

Dan Christensen · Answer 2

OP schrieb:

Wenn wir haben:

$\forall x\exists y(x=y+z)$

dann können wir das beides sagen $x$ Und $y$ gebunden sind, und $z$ ist frei, da kein Quantor angehängt wurde $z$ . Grundsätzlich könnte die Gültigkeit der Aussage davon abhängen $z$ , obwohl in Wirklichkeit wenn $x,y\,\textrm{and}\, z$ wären reelle Zahlen, wäre diese Aussage immer wahr.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass, wenn eine Anweisung freie Variablen enthält, es tatsächlich mehrere Anweisungen auf einmal sind, sodass wir aus dem obigen Beispiel mehrere Anweisungen extrahieren können:

$\forall x\exists y(x=y+1)$

$\forall x\exists y(x=y+2)$

$\vdots$

Es kommt auf den Kontext an. Im Rahmen eines formalen Beweises können Sie substituieren $1$ für $z$ nur, wenn Sie dies bewiesen oder ausdrücklich angenommen haben $z=1$ .

In informelleren Kontexten wird beispielsweise die Kommutativität der Addition in Lehrbüchern oft so einfach angegeben

$x+y=y+x$

wobei angenommen wird, dass beliebige Werte ersetzt werden können $x$ Und $y$ .

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Analyse I (Terence Tao) – Freie und gebundene Variablen

Schreiben Sie über die prädikatenlogische Sprache und den Wahrheitsbereich eines Prädikats

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Übersetzung der Prädikatenlogik in die englische Verwirrung

Geben Sie Formeln an, deren Interpretationen im Modell die Prädikate darstellen

Was wird in diesen beiden Quellen in Bezug auf Wahrheit und Falschheit unterschieden?