Ist π2≈gπ2≈g\pi^2 \approx ga Zufall?

Die Differentialgleichung für ein Pendel lautet

Wenn Sie dies lösen, erhalten Sie

Definiert man einen Meter als Länge eines Pendels mit$T_{1/2}=1\,\mathrm{s}$dies führt Sie unweigerlich zu$g=\pi^2$.

Dies wurde tatsächlich vorgeschlagen, aber die französische Akademie der Wissenschaften entschied sich dafür, einen Meter als ein Zehnmillionstel der Länge eines Quadranten entlang des Erdmeridians zu definieren. Siehe Wikipedia-Artikel über das Messgerät . Dass diese beiden Werte so nahe beieinander liegen, ist reiner Zufall. (Nun, wenn Sie nicht berücksichtigen, dass die französische Akademie der Wissenschaften einen beliebigen Bruchteil des Quadranten hätte wählen können und wahrscheinlich einen genommen hat, der dem Ein-Sekunden-Pendel entspricht.)

Außerdem,$\pi$hat in jedem Einheitensystem den gleichen Wert, weil es nur das Verhältnis zwischen dem Durchmesser eines Kreises und seinem Umfang ist, während$g$hängt von den gewählten Einheiten für Länge und Zeit ab.

Es ist ärgerlich unklar, inwieweit es ein Zufall ist, aber auf jeden Fall ist es kein vollständiger Zufall.

Wie Sie z. B. im Wikipedia-Artikel über das Meter sehen können, wurde erstmals 1670 eine Einheit vorgeschlagen, die dem Meter fast gleicht, aber von einem Pendel abgeleitet wurde, und die Idee lag in der Luft, als das revolutionäre Frankreich beschloss, einen neuen Satz von Einheiten herzustellen.

Diese vom Pendel abgeleitete Einheit hätte, wenn sie angenommen worden wäre, gemacht$g$gleicht$\pi^2\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ per Definition . Der Beweis dafür ist sehr einfach und kann in anderen Antworten hier gefunden werden, also werde ich ihn nicht wiederholen.

(Wenn also diese Definition angenommen worden wäre, wäre die Antwort auf die Frage hier ein eindeutiges Ja.)

Hier ist ein Link zu einer englischen Übersetzung des Berichts der von der Französischen Akademie der Wissenschaften eingesetzten Kommission. Sie erklären, dass die pendelbasierte Definition sehr schön ist, aber den Nachteil hat, dass sie von der Sekunde abhängt, die eine ziemlich willkürliche Einheit ist. Also schlagen sie stattdessen vor, zu nehmen$10^{-7}$eines Viertelmeridians der Erde.

Nun, diese Einheit, die sie übernommen haben, ist (1) fast genau gleich der auf dem Pendel basierenden Einheit, aber auch (2) auf auffallend einfache Weise von den Dimensionen unseres Planeten abgeleitet. Es ist also überbestimmt. Haben Borda, Lagrange, Laplace, Mongé und Condorcet (übrigens eine wirklich beeindruckende Namensliste!) die besondere erdbasierte Definition gewählt, weil sie der pendelbasierten Definition nahe kommt, oder nicht? Das ist es, was ärgerlich unklar ist.

Ich finde zwei nützliche Hinweise in ihrem Bericht. Sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Erstens, sagen sie

Indem wir die von uns vorgeschlagene Maßeinheit übernehmen, kann ein allgemeines System gebildet werden, in dem alle Unterteilungen der arithmetischen Skala folgen können, und kein Teil davon unsere gewohnheitsmäßigen Gebräuche beeinträchtigt: wir werden jetzt nur sagen, dass dieser zehnmillionste Teil eines Quadranten des Meridians, der unsere gemeinsame Maßeinheit bilden wird, wird nicht von dem einfachen Pendel abweichen, sondern etwa einhundertfünfundvierzig Teil; und dass also die eine und die andere Einheit zu in ihren Konsequenzen absolut ähnlichen Maßsystemen führt.

was deutlich macht, dass sie wussten, wie nahe die beiden waren, und es gerne nutzten. Aber zweitens sagen sie

Wir könnten diese letztere Unannehmlichkeit in der Tat vermeiden, indem wir als Einheit das hypothetische Pendel nehmen, das nur eine einzige Schwingung an einem Tag machen sollte, eine Länge, die in zehntausend Millionen Teile geteilt wird, würde eine Einheit für allgemeines Maß von etwa siebenundzwanzig Zoll ergeben ; und diese Einheit würde einem Pendel entsprechen, das an einem Tag hunderttausend Schwingungen machen sollte; aber es würde immer noch die Unbequemlichkeit bleiben, ein heterogenes Element zuzulassen und Zeit zu verwenden, um eine Längeneinheit zu bestimmen, oder die in diesem Fall dieselbe ist , die Intensität der Schwerkraft an der Erdoberfläche.

Sie waren also eindeutig bereit, die Möglichkeit einer etwas anderen Einheit zu befürworten, und das Argument, das sie gegen diese vorbringen, hat nichts damit zu tun, dass sie mit der pendelbasierten Einheit, die dem Meter so nahe kommt, nicht einverstanden sind.

(Obwohl ... wenn sie sich letztendlich für diese Definition entschieden hätten, hätten sie vielleicht auch vorgeschlagen, die zweite neu zu definieren$10^{-5}$Tage, in diesem Fall hätten sie es wieder gemacht$g=\pi^2$per Definition.)

Ich denke, die erste dieser Passagen reicht aus, um klarzustellen, dass dies kein völliger Zufall ist$g\simeq\pi^2$. Borda et al. wussten, dass ihre Definition der pendelbasierten nahe kam, und boten diese Tatsache als (geringfügigen) Grund an, sie zu akzeptieren. Aber ich denke, das zweite reicht aus, um darauf hinzuweisen, dass es leicht anders hätte sein können : Mein Gefühl ist, dass sie es immer noch vorgezogen hätten, wenn die Definition auf der Grundlage der Meridianlänge um etwa 5% von der auf dem Pendel basierenden Definition gewesen wäre.

In den Kommentaren unten hat der Benutzer Pulsar einen interessanten Artikel dazu gefunden, dessen Schlussfolgerungen ungefähr mit meinen übereinstimmen: Es sieht ganz so aus, als ob die pendelbasierte Sekunde eine Motivation für die Wahl von war$1/(4\times10^{7})$eines meridionalen Großkreises, aber hier ist nichts ganz klar, und wir müssen uns auf Vermutungen über die Motivationen der beteiligten Wissenschaftler verlassen.

Zusätzlich zu Anedars Antwort werde ich versuchen, die Dinge aus einer größeren Perspektive anzusprechen.

Als sie das SI-Einheitensystem erstellten, wählten sie Einheiten, die für den Menschen geeignet sind. Aus wissenschaftlicher Sicht wäre es sinnvoll, zum Beispiel Gaußsche Einheiten zu verwenden, aber für den Mann auf der Straße ist es nützlicher, wenn die Einheiten mehr oder weniger mit Dingen übereinstimmen, denen Menschen im täglichen Leben begegnen.

Für eine Längenskala möchten Sie also etwas, das ungefähr die gleiche Größe wie ein menschlicher Körper hat. Und für eine Zeitskala möchten Sie etwas, das ungefähr darstellt, wie schnell Menschen zählen können.

In der SI-Einheit wurden Meter und Sekunde so gewählt, dass:

• 1 m ist ungefähr der typische Beinabstand eines Erwachsenen.
• 1 s ist ungefähr die typische Zeit, die man braucht, um zwei Schritte zu gehen.

Da zwischen Beinlänge, Schrittzeit und Schwerkraft ein Zusammenhang besteht, entspricht dies in diesem Einheitensystem in etwa einer Schwerkraftkonstante$\pi^2$.

Sie hätten andere anthropozentrische Einheiten wählen können. Der Meter hätte doppelt so lang oder doppelt so kurz definiert werden können, und der zweite hätte doppelt so lang oder doppelt so kurz definiert werden können. Aber keinen Faktor tausend länger oder kürzer, dann wäre es von der Community nicht akzeptiert worden, weil die Einheiten sehr unpraktisch gewesen wären.

Ich behaupte also, dass auf jedem Planeten mit Leben, der ein Einheitensystem entwickelt hat, ihre lokale Gravitationskonstante in ihrem Einheitensystem zwischen 1 und 100 liegt.

(Diese Antwort erklärt, warum der numerische Wert von$g$in SI-Einheiten ist nicht 10000000. Es erklärt nicht, warum der numerische Wert von$g$in SI-Einheiten ist nicht 13.)

$g$ist ein Wert mit Einheiten, und$\pi$ist eine dimensionslose Zahl. Wenn Sie ein Einheitensystem betrachten, das Meilen, Tage und Gramm als Einheiten für Länge, Zeit und Masse verwendet, können Sie das sehen$g$wird ganz anders sein.

Nehmen Sie an, dass die Werte von Meter und Sekunde fest sind. Die Gleichung für eine halbe Periode in Anedars Antwort

Man muss nur einen Ort auf der Erde finden, wo dies seither der Fall wäre$g$ist nicht wirklich eine Konstante. An dieser Stelle würde man in der Tat messen$g=\pi^2$. An dieser Stelle wäre es also ein Zufall.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ Ist$~\pi^2\approx g~$ein Zufall ?

Einige haben mit Ja geantwortet , andere mit Nein und wieder andere haben beides in Betracht gezogen $(!)$als durchaus praktikable Optionen. Ich persönlich kann mir ein Schmunzeln nicht verkneifen, denn diese Frage erinnert mich an Newtons berühmte Scheibe , von der man sagen kann, dass sie gleichzeitig weiß und farbig ist, je nachdem, ob sie sich dreht oder ruht. Um den ohnehin schon rätselhaften Nebel der Verwirrung noch zu verstärken, wage ich hiermit noch eine vierte Meinung :

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ Wir wissen es nicht und werden es auch nie!

Zugegeben, eine solche Aussage würde, wenn man sie für bare Münze nimmt, zweifellos als gottloser Affront gegen Hilberts berühmtes Sprichwort „ Wir müssen wissen, wir werden wissen“ erscheinen, aber bevor mir jemand vorwirft, entweder philosophischen Pessimismus oder erkenntnistheoretischen Agnostizismus anzunehmen, lassen Sie mich Ihnen versichern , lieber Leser, dass dies einfach nicht der Fall ist; vielmehr stütze ich diese kurze Behauptung rein auf mathematische Grundlagen. Grundsätzlich gibt es vier Hauptwege, auf denen eine Maßeinheit geschaffen werden kann, die gleichzeitig sowohl praktisch oder anthropozentrisch als auch universell aussagekräftig ist$($ganz zu schweigen von reproduzierbar$)$ :

• die Länge des Pendels mit einer Halbperiode von genau einer Sekunde , da die Länge eines Pendels mit einer Halbperiode von einer Minute überaus lang sein wird;

• der zehnmillionste , der hundertmillionste oder sogar der milliardste Teil eines Erdmeridians oder des Erdäquators, da die anderen beiden benachbarten Optionen, dh der millionste und der zehnmilliardste Teil, beide viel zu groß wären , oder viel zu klein;

• die Entfernung, die das Licht in der hundertmillionsten , der milliardsten oder sogar der zehnmilliardsten Sekunde zurücklegt; Auch hier wären die anderen beiden benachbarten Optionen, dh der zehnmillionste und der hundertmilliardste Teil, entweder viel zu lang oder viel zu kurz;

• die Länge einer sogenannten Terz $($dh der sechzigste Teil einer Sekunde $)$des Meridians oder Äquators der Erde.

Natürlich könnte jemand an dieser Stelle leicht versucht sein zu sagen, dass ich einen abscheulichen und unverzeihlichen Missbrauch begangen habe, indem ich all die oben aufgeführten Zehnerpotenzen sorgfältig aufgezählt habe, da das metrische System, wie wir es heute haben, zufälligerweise dezimal ist, aber das wäre angesichts eines anderen Verlaufs der Menschheitsgeschichte nicht unbedingt der Fall gewesen$($so etwa, wenn man die vom Licht zurückgelegte Strecke mit einbeziehen würde$10^{-9}$Sekunden, eine solche Länge hätte leicht als „neuer Fuß“ interpretiert werden können, der weiter unterteilt werden könnte$12$„neue Zentimeter“, was letztendlich einen „neuen Meter“ ergibt$0.9$Meter$)$.

Nun, die schockierende Überraschung, die viele zum Zeitpunkt ihrer ersten Entdeckung in Erstaunen versetzte und dies auch heute noch tut, ist folgende : Das Verhältnis der ersten drei Einheiten ist$1:4:3$, fast genau , die schiere „Nettheit“ der beteiligten Zahlen ist absolut unheimlich, um es gelinde auszudrücken .$($Gruselig, zum Nachdenken anregend, herausfordernd, verwirrend und hypnotisierend kommen mir auch in den Sinn$)$. Zu allem Überfluss, wie das Sprichwort sagt, bemerken wir auch, dass letztere Einheit den doppelten Wert darstellt$3~600^\text{th}$Teil einer Seemeile , entspricht$103$Zentimeter, mit einem Fehler von weniger als$\pm1$Millimeter ; Apropos, der tausendste Teil einer Seemeile ist auch auffallend nahe an der Länge eines Fadens und misst den Abstand zwischen den Fingerspitzen der ausgestreckten Arme eines Mannes.

Darüber hinaus, selbst wenn man ganz bewusst aus dem Weg gehen würde und bewusst versuchen würde, die beiden obigen Zufälle zu vermeiden, indem man$($wiederholt$)$die rein zahlentheoretische Unterteilung der genannten nichtmetrischen Einheit in, sagen wir, Siebtel,$($da die Potenzen aller anderen vorherigen Primzahlen bereits reichlich in seiner sexagesimalen Erzeugung erscheinen$)$, würde man zu dem unheimlichen Schluss kommen, dass sich das summiert$5.4$Meter, mit einem Fehler von weniger als einem halben Millimeter .

Nebenbei, als$($noch weiter$)$Zufall will es, mein ganz persönliches Ausloten ist$1.8$Meter fast genau, mit einem Fehler von nicht mehr als ein paar Millimetern, was die obige Länge zu meiner eigenen persönlichen Rute macht ; tatsächlich bin ich ein ziemlich metrischer Mensch, da selbst meine eigene Körpergröße nur geringfügig darüber hinausragt$1.7$Meter und nicht überschreitet$171\rm~cm$- Aber ich schweife ab$\ldots$

Einige der obigen Beziehungen sind$($leicht$)$erklärt$($ein Weg$)$mittels Grundrechenarten, wie zum Beispiel die Tatsache, dass$3\cdot7^3\simeq2^{10}\simeq10^3$, oder$2^7\simeq5^3\simeq11^2$, und$2^8\simeq3^5$, wobei die beiden letzteren „Schuldigen“ für die schöne Annäherung verantwortlich sind$3000_{12}\simeq5000_{10}$, oder gleichwertig,$12^4\simeq2\cdot10^4$, die duodezimale Tausender und Myriaden mit ihren dezimalen Gegenstücken in Beziehung setzen; andere sind es jedoch$($viel$)$schwerer zu vertreiben. Dennoch werden wir genau das anstreben !

Gehen wir also furchtlos und fröhlich an den ehrfurchtgebietendsten aller oben aufgeführten Zufälle heran$($und gnadenlos$)$ das Leben daraus entlarven$-$im Namen der Wissenschaft! :-$)$

Nun, so wie ich es sehe, wenn das fragliche Verhältnis wirklich wäre $3:4$, dann wird die vom Licht zurückgelegte Entfernung durch einen Tag geteilt$($da dies die kleinste natürlich vorkommende Zeiteinheit ist, die auch vom Menschen leicht beobachtbar ist$)$auf die Länge eines Erdmeridians sollte ein Ergebnis von genau ergeben $648~000.~$Durch die Verwendung der genauesten bisher bekannten Messungen, nämlich der von

Mit anderen Worten, durch die Verbesserung der Auflösung unserer Längen und Verhältnisse werden die Geister des modernen Aberglaubens im kalten Licht des Tages durch die Macht der Vernunft für immer zerschmettert, und unser Verstand kann sich endlich darauf verlassen, dass das Ganze nichts weiter als ein war Sturm in einer Teekanne
oder viel Lärm um nichts , wie Shakespeare es vor all den Jahrhunderten so wunderbar ausdrückte! Jetzt
bleibt nur noch zu beten , dass niemand merkt, dass das vorherige Verhältnis auch als ausgedrückt werden kann$27~27\rm~BB$in der Basis$12$, mit einem Fehler von weniger als anderthalb Einheiten. :-$)$

Ernsthafter gesagt, es läuft alles auf Teiler hinaus$($normalerweise Potenzen von$2,~3,$und$5)$und Zahlensysteme.$-~$ Nicht wahr?$\ldots$Mit den Worten von Thomas More , ich vertraue darauf , dass ich mich unverständlich mache . :-$)$

Pi ist in den meisten Newtonschen Geometriesystemen unveränderlich. g ändert sich jedoch drastisch rund um den Planeten und auch, wenn Sie die Einheiten ändern. Aber wenn Sie Zufälle mögen, gibt es ungefähr π * 10^7 Sekunden/Jahr.

Angesichts unserer physikalischen Kenntnisse muss dies sicherlich ein Zufall sein.

$\pi$ergibt sich aus der Untersuchung bestimmter mathematischer Zusammenhänge. Betrachten wir das Verhältnis von Radius und Umfang eines Kreises: Dies ist nicht das interessanteste Vorkommen von$\pi$(Die von Euler und später untersuchten Beziehungen werden manchmal als bemerkenswerter angesehen), aber es ist ein nettes einfaches Beispiel.

Der Kreis ist eine Menge von Punkten, die von einem Ursprung gleich weit entfernt sind. Die Beschränkungen erlauben nur eine einzige Anordnung solcher Punkte in bestimmten Raumarten.$\pi$zeichnet diese einzigartige Anordnung aus. Beachten Sie, wie dies mit rein mathematischen Argumenten erreicht wurde, ohne jeglichen Rückgriff auf die physische Welt. Außerirdische in einem völlig anderen Paralleluniversum oder Dämonen in der Hölle hätten ähnlich argumentieren und dasselbe entdecken können$\pi$, unabhängig davon, wie unterschiedlich die ihnen zugrunde liegenden physikalischen Gesetze sind. Die Mathematik kennt die Realität nicht, sie kümmert sich nicht darum, was in der sogenannten realen Welt passiert. Alles, was es ist, ist die logische Ableitung von Konsequenzen, die sich aus einer Reihe von Axiomen ergeben.

Es kommt so vor$\pi$kann experimentell beobachtet werden, indem man zum Beispiel Kreise aus Draht konstruiert. Aber hier gibt es eine sehr voreingenommene Kausalität: Die Drahtschleife weist auf$\pi$ weil unsere Welt wie das platonische Ideal des euklidischen Raums ist, nicht umgekehrt. Obwohl es erwähnenswert ist, dass es natürlich einen Grund gibt, warum Euklid zufällig mit genau dieser Art von Raum begann und nicht mit einem anderen.

$g$entsteht durch die Einwirkung von Massen aufeinander. Aus unklaren Gründen enthält die Welt, die wir bewohnen, Massen. Das Verhalten dieser Massen scheint bestimmten Regeln zu folgen. Diese Regeln wurden durch Beobachtung der physischen Welt abgeleitet . Analyse der erhaltenen Regeln$g$.

Außerirdische im Universum X oder Dämonen in der Hölle konnten sich selbst nicht finden$g$ohne unser Universum zu beobachten. Durch Methoden, die unseren analog sind, können sie finden$g_{alien}$oder$g_{hell}$. Diese können leicht von unseren abweichen$g_{earth}$, aber es ist ihnen auch nicht verboten, es zufällig gleichzusetzen. Die Zahlen haben absolut nichts miteinander zu tun, da sie Teile von disjunkten physikalischen Systemen sind.

Beachten Sie, dass die Physik selbst ein abstraktes Konstrukt ist, es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass das Universum unseren Gesetzen der Physik gehorcht, es wurde lediglich nie beobachtet, dass es im Widerspruch zu diesen Gesetzen steht, die noch nicht widerlegt wurden (die Zirkularität ist sinnvoll). Im Gegensatz zur Mathematik stützt sich das Konstrukt der Physik nicht nur auf a priori Annahmen, sondern auch auf a posteriori Beobachtungen unserer physikalischen Welt .

Das musst du nicht akzeptieren$\pi_{earth}=\pi_{hell}=\pi_{alien}$. Sie können zum Beispiel den beunruhigenden, aber vernünftigen Einwand machen, dass die Mathematik nichts als ein Artefakt des menschlichen Gehirns und nicht universell, sondern a posteriori ist . In gewisser Weise ist diese Position schwach, weil wir beobachtet haben, dass Tiere ein ähnliches Verständnis von Mathematik haben, aber das ist natürlich nur ein Indizienbeweis, kein Beweis.

Wenn Sie das akzeptieren$\pi_{earth}=\pi_{hell}=\pi_{alien}$, das zu sein$\pi$wird ohne Input von der physischen Welt erhalten: Dann, während jedermanns$\pi$ist notwendigerweise gleich, jedermanns$g$muss nicht sein. Daher würde die von Ihnen beobachtete Beziehung nur in unserem Universum gelten, nicht in der Hölle oder im Universum X. Mit anderen Worten, unser Universum hätte "leicht" ein anderes haben können$g$- Es ist unklar, ob die Gesetze der Physik, die wir kennen, keine andere Wahl hatten, als so zu sein, wie sie sind, oder ob es eine Art Würfelspiel gab, um einen Haufen zufälliger Gesetze heraufzubeschwören, und wir "hätten" mit a enden können anderer Satz. Es ist nicht einmal klar, ob die Gesetze immer galten oder in Zukunft gelten werden. Obwohl wir bisher noch nie beobachtet haben, dass sie nicht gehalten haben - außer denen, die wir gemacht haben, aber wir sprechen nicht mehr darüber ...

Man kann beobachten, dass sich die Mathematik zwar nicht um die Welt kümmert, die Welt aber der Mathematik zu gehorchen scheint. Wir haben nie beobachtet, dass die reale Welt der mathematischen Logik widerspricht. Also, es ist nicht unmöglich, dass eines Tages die wahre Natur von$g$verstanden werden, und es wird sich herausstellen, dass es einen geometrischen Ursprung hat (zum Beispiel), und wir werden herausfinden, dass Ihre Beobachtung tatsächlich sinnvoll ist, nicht bloßer Zufall. Aber soweit ich weiß, gibt es keine solche geometrische Erklärung. Ich bezweifle auch, dass dies jemals passieren wird, da die Beziehung nur auf der Erde funktioniert und nicht einmal überall auf der Erde.

Anmerkung 1: In dieser Antwort habe ich eine philosophische Position in Bezug auf die Natur der Mathematik eingenommen, die nicht unbedingt als wahr verstanden wird. Dagegen gibt es berechtigte Einwände. Ich persönlich fühle, dass meine Position prima facie deckungsgleich ist, also habe ich diese Antwort geschrieben. Wenn Sie eine radikal andere Vorstellung von Mathematik haben, können vielleicht andere Antworten auf Ihre ursprüngliche Frage gegeben werden.

Anmerkung 2: Ich wollte nicht gemein sein und Ihnen gleich die langweilige Antwort geben. Der Vollständigkeit halber hier:$\pi^2$ist wie$g$... nur wenn Sie Meter und Sekunden verwenden, zwei explizit willkürliche Einheiten. In Planck-Einheiten existiert die Beziehung nicht. In der Tat, mit den richtigen Einheiten können Sie machen$g$so sein wie$e$, oder Ihr Alter, oder Ihre Postleitzahl, oder jede andere Nummer, die Sie wünschen.