Ist Zelig ein arrovianischer Diktator?

Die Enzyklopädie ist in der Tat falsch. Was sie falsch machen, ist, dass sie keine willkürlichen Profile individueller Entscheidungen berücksichtigen, sondern sich auf eine bestimmte Teilmenge beschränken: Diejenigen, bei denen Zelig immer mit einem anderen Ausschussmitglied übereinstimmt. Das Zulassen willkürlicher Profile würde solche einschließen, bei denen Zelig allein für eine Option steht, während sich die beiden anderen auf eine andere einigen.

Ob jemand ein Diktator ist oder nicht, ergibt sich aus der Wahlregel/sozialen Wohlfahrtsfunktion, bevor eine bestimmte Wahlstrategie/Präferenz für diese Person festgelegt wurde.

Um ein anderes Beispiel zu nennen: Wenn wir gemeinsam entscheiden, welches Obst wir zu Mittag essen, und die Abstimmungsregel, die wir anwenden, lautet: "egal, es sind sowieso Äpfel", dann würde es keinen Sinn machen, diejenigen von uns anzurufen, die tatsächlich wollen Äpfel die Diktatoren.

Die kurze Antwort ist, dass Zelig der Diktator ist. Seine Vorlieben spiegeln immer die Vorlieben der Gruppe wider, und zwar weil weder Alice noch Bob die Bedingungen des Diktators erfüllen.

Laut Autor: Zelig ist der einzige Diktator

Ich schickte eine E-Mail an Michael Morreau , den Autor des SEP-Artikels, auf den in der Frage verwiesen wurde. Abgesehen davon, dass er der Autor dieses Artikels ist, ist er Professor für Philosophie in Norwegen und hat Artikel zur Theorie der sozialen Wahl veröffentlicht. Seine Antwort (wörtlich) ist unten.

Danke für die Frage. Im Beispiel ist Zelig der Diktator der Sozialhilfe und (sofern er nicht immer neben der gleichen Person sitzt) der einzige Diktator.

Als konkretes Beispiel seien die anderen beiden Personen Alice und Bob. Jedes Mal, wenn sie sich mit Zelig treffen, rufen sie danach zum Abendessen ein, entweder x (z. B. chinesischer Imbiss) oder y (Pizza). Sie treffen ihre Entscheidung, ob es x oder y sein soll, bei jeder gegebenen Gelegenheit durch Mehrheitsbeschluss. Alice bevorzugt manchmal x gegenüber y und manchmal y gegenüber x; das gleiche gilt für Bob; und diese beiden haben ihre Präferenzen unabhängig voneinander, so dass Alice manchmal x gegenüber y bevorzugt, Bob jedoch y gegenüber x, und manchmal bevorzugt Bob x gegenüber y, Alice jedoch y gegenüber x. Zelig hingegen sitzt mal neben Alice und mal neben Bob und übernimmt unter x und y die Vorliebe dessen, neben wem er gerade sitzt. Außerdem sitzt er manchmal neben Alice, wenn sie und Bob unterschiedliche Vorlieben haben,

Nun ist Zelig ein Diktator im Sinne von Arrow. Immer wenn er x gegenüber y bevorzugt, liegt das daran, dass er neben jemand anderem sitzt, der es tut, entweder Alice oder Bob, und das sind zwei von drei, eine Mehrheit. Die Gruppe bevorzugt auch x gegenüber y.

Alice ist keine Diktatorin. Es gibt Gelegenheiten, bei denen sie x gegenüber y bevorzugt, aber Bob bevorzugt y gegenüber x und hat Zelig zufällig neben sich sitzen. Bei solchen Gelegenheiten ist die Mehrheitspräferenz für y bis x, was nicht mit Alices Präferenz übereinstimmt. Aus identischen Gründen ist Bob kein Diktator.

Wir könnten das Beispiel modifizieren, indem wir eine weitere Domänenbeschränkung festlegen, die der Annahme entspricht, dass Zelig immer neben derselben Person sitzt, sagen wir Alice. Dann haben sowohl Zelig als auch Alice immer die gleichen Vorlieben und beide sind Diktatoren. Es ist, als gäbe es nur zwei Personen in der Gruppe, aber eine von ihnen, Alice-Zelig, hat zwei Stimmen. Ich habe das Beispiel nicht so aufgestellt, weil ich wollte, dass ein Konformist der arrovianische Diktator ist, und Zelig ist der einzige Konformist: Alice und Bob haben ihre Vorlieben unabhängig voneinander und von Zelig.

In dem Link, den Sie mir geschickt haben, schreibt jemand:

für das Profil ⟨RZelig,RAlice,RBob⟩ mit xRZeligy, yRAlicex und yRBobx haben wir yPx, was der obigen Definition von Diktatur widerspricht. Nun, wir werden dieses Profil aufgrund von Zeligs Abstimmungsverhalten vielleicht nie in der Realität finden, aber das hat keinen Einfluss auf die Eigenschaften von f.

Dieses Profil ergibt sich, wie der Autor feststellt, „in der Realität“ nicht. Technisch bedeutet dies, dass es angemessen ist, die Sozialfunktion f mehrheitlich auf einer Domäne regieren zu lassen, die dieses Profil nicht enthält: Dies ist eine „beschränkte Domäne“. Da ihre Domäne Teil der Definition einer Funktion ist, einschließlich einer sozialen Wohlfahrtsfunktion, widerspricht dies dem, was dieser Autor schreibt, „beeinflusst die Eigenschaften von f“. Diese Art von Fehler wird leicht gemacht, wenn wir zwischen dem informellen Sprechen von „Mehrheitsregel“ und der technischen Umsetzung dieser Idee in Arrows Rahmenwerk hin und her gehen, in dem das Funktional f für eine bestimmte Gruppe von Individuen definiert ist (hier nur Alice, Bob und Zelig), einen bestimmten Satz von Optionen (hier spezifiziert, um x und y einzuschließen,

Der Autor scheint sich dessen bewusst zu sein, was darauf hindeutet, dass wir „Zeligs eigenartiges Verhalten als Teil der sozialen Wohlfahrtsfunktion betrachten könnten“. Die folgende Behauptung des Autors, dass dann der Diktator „jemand ist, der neben Zelig sitzt … wenn er seine Stimme durch Zelig erhöht bekommt“, ist, wie ich illustriert habe, nur dann wahr, wenn Zelig bei jeder Gelegenheit immer neben derselben Person sitzt . Aber auch in diesem Fall ist Zelig entgegen der Behauptung des Autors selbst ein Diktator von f im technischen Sinne von Arrow.

Zusammenfassung

Um ein Diktator zu sein, müssten entweder die Vorlieben von Alice oder Bob immer mit den Vorlieben der Gruppe übereinstimmen. Dies ist nicht der Fall, da die Präferenz von Alice oder Bob nur dann mit der Präferenz der Gruppe übereinstimmt, wenn sie Zelig am nächsten sitzen. Deshalb sind sie keine Diktatoren. Zelig ist, weil seine Präferenz immer mit der Präferenz der Gruppe übereinstimmt.

Ein Diktator muss eine einzelne Instanz eines Menschen sein. Die „Nebenperson von Zelig“ ist nicht in allen Fällen dieselbe Einzelperson, kann also kein Diktator sein. Das ändert sich, wenn man von einer einheitlichen Bestuhlung ausgeht.

Die Beschreibung von Zelig durch die SEP beinhaltet einige rhetorische Taschenspielertricks, aber ich glaube nicht, dass sie im formalen, mathematischen Sinne ganz falsch ist. Ich glaube, SEP löst das Problem mit diesem Absatz:

Pfeil verhängte D in Verbindung mit der Anforderung U, dass die Domain vollständig uneingeschränkt ist. Vielleicht drückt diese Bedingung dann etwas näher an ihrer beabsichtigten Bedeutung aus. Bei einer uneingeschränkten Domäne ist ein Diktator im Gegensatz zu Zelig jemand, dessen Präferenzen in einer Reihe von Fällen mit denen aller anderen in Konflikt stehen, und es sind in jedem Fall seine Präferenzen, die mit den sozialen Präferenzen übereinstimmen, nicht ihre. Wie auch immer dies sein mag, das Beispiel von Zelig zeigt, dass es von den Details des vorliegenden Auswahlproblems abhängt, ob es angemessen ist, D auf soziale Wohlfahrtsfunktionen anzuwenden. Der Name dieser Bedingung ist irreführend. Manchmal ist nichts undemokratisch daran, einen „Diktator“ im technischen Sinne von Arrow zu haben.

Packen wir aus, was U bedeutet. Informell bedeutet U, dass jede Person für eine beliebige Reihenfolge von Präferenzen stimmen kann. Während dies bei dem Beispiel von Zelig der Fall zu sein scheint , ist der Autor stillschweigend davon ausgegangen, dass das Verhalten von Zelig Teil des Wahlsystems selbst ist und kein freiwilliges Verhalten von Zelig. Mit anderen Worten, der Autor geht davon aus, dass Zelig gar keine Wahl bekommt, sondern einen vorgefüllten Stimmzettel bekommt, den er sofort unverändert zurücksendet.

Zur Verteidigung von Dr. Moreau (dem Autor dieses Artikels) gibt es keinen anderen vernünftigen Weg, Zeligs Verhalten formal zu beschreiben, es sei denn, wir wollen von Arrows ursprünglicher Formulierung abweichen. Arrow lässt die Vorstellung nicht zu, dass „ein Wähler freiwillig seine eigenen Entscheidungen einschränkt“, und so können wir entweder ein Wahlsystem haben, in dem Zeligs Stimme künstlich eingeschränkt wird, oder ein Wahlsystem, in dem Zelig für alles stimmen kann, aber nicht ein Wahlsystem, bei dem Zelig freiwillig wählt, für "was auch immer der andere will" zu stimmen. Während wir wahrscheinlich einen anderen Weg finden könnten, Zeligs Verhalten zu formalisieren, ist das Ergebnis kein "Wahlsystem" in dem Sinne, wie Arrow es definiert, weil es zusätzliche mathematische Strukturen enthalten würde, die Arrow nicht in Betracht gezogen hat.

Arrow hat sich entschieden, die Dinge auf diese Weise zu formalisieren, weil Arrow sich nicht wirklich um Wähler wie Zelig kümmert. Arrow versucht, ein System zu beschreiben, das für alle möglichen Stimmen und alle möglichen Wähler funktioniert, und in diesem Zusammenhang ist es gesunder Menschenverstand, dass es den Wählern „erlaubt“ sein sollte, so abzustimmen, wie sie wollen. Deshalb verwendet Arrow auch den Begriff „Diktator“ – weil Arrow sich nicht um Systeme kümmerte, in denen U verletzt wird, wie das Beispiel mit Zelig. In Systemen, die U erfüllen, ist der Begriff "Diktator" weitgehend zutreffend. Andererseits weist Dr. Moreau darauf hin, dass in Systemen, in denen U verletzt wird, auch D verletzt werden kann, selbst wenn die Verletzung überhaupt nicht wie ein Diktator aussieht (denken Sie daran, dass Zellig keine Wahl hat!).