Kann die Ableitung der relativistischen Masse in Kleppner nicht verstehen

Question

Kann die Ableitung der relativistischen Masse in Kleppner nicht verstehen

Hirnschlagpatient

In Kleppner und Kolenkow, Kapitel 13, leiten sie den Ausdruck der relativistischen Masse ab, indem sie eine symmetrische streifende elastische Kollision betrachten.

Es wurde aus zwei Bezugsrahmen analysiert. Eine, bei der die Geschwindigkeit von A in x-Richtung null war, und eine andere, bei der die Geschwindigkeit von B in x-Richtung null war.

So geht die Ableitung im Buch:

Unsere Aufgabe ist es, eine Erhaltungsgröße analog zum klassischen Impuls zu finden. Wir nehmen an, dass der Impuls eines Teilchens sich mit Geschwindigkeit bewegt $\mathbf{w}$ Ist
$P = M (w) w$ $\mathbf{p} = m(w) \mathbf{w}$ Wo $m(w)$ ist eine noch zu bestimmende skalare Größe, analog zur Newtonschen Masse, die aber von der Geschwindigkeit abhängen könnte.

Der x-Impuls im Rahmen von A ist vollständig auf Teilchen B zurückzuführen. Vor der Kollision ist die Geschwindigkeit von B $w = \sqrt{V^2 + u_0^2/\gamma^2}$ und nach der Kollision ist es $w' = \sqrt{V^2 + u'^2/\gamma^2}$ . Die auferlegende Impulserhaltung in x-Richtung ergibt
$M (w) v = M (w^{'}) v$ $m(w)V = m(w')V$ Es folgt dem $w=w'$ , so dassMit anderen Worten, die y-Bewegung wird im A-Frame umgekehrt.

Als nächstes schreiben wir die Aussage über die Impulserhaltung in y-Richtung, wie sie im System von A ausgewertet wird. Das Gleichsetzen des y-Impulses vor und nach dem Stoß ergibt
$- M_{0} u_{0} + M (w) \frac{u_{0}}{γ} = M_{0} u_{0} - M (w) \frac{u_{0}}{γ}$ $-m_0 u_0 + m(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m(w) \frac{u_0}{\gamma}$ was gibt $M (w) = γ M_{0}$ $m(w) = \gamma m_0$ An der Grenze $u_0 \rightarrow 0$ , $m(u_0) \rightarrow m(0)$ , die wir für die Newtonsche Masse oder "Ruhemasse" halten $m_0$ , des Teilchens. In dieser Grenze $w = V$ . Somit $M (v) = γ M_{0} = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}$ $m(V) = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$ Folglich bleibt der Impuls bei der Kollision erhalten, vorausgesetzt, wir definieren den Impuls eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit bewegt $\mathbf{v}$ sein $P = M v$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ Wo
$M = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} = γ M_{0}$ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0$

Nun habe ich ein paar Probleme mit dieser Ableitung. Sie sind:

Sie nahmen an, dass sowohl A als auch B die gleiche Masse haben. Wenn ich mich nicht irre, ist die Impulsgleichung in der $x$ Richtung sollte unverändert bleiben, weil während des Stoßes der Impuls in der ist $y$ Richtung. Nehmen wir also an, die Massen wären anders, nämlich $m_A$ Und $m_B(w)$ . Dann seit $M_{B} (w) v = M_{B} (w^{'}) v$ $m_B(w)V = m_B(w')V$ es folgt dem $u^{'} = u_{0}$ $u' = u_0$ Aber dann wird die y-Gleichung $- M_{A} u_{0} + M_{B} (w) \frac{u_{0}}{γ} = M_{0} u_{0} - M_{B} (w) \frac{u_{0}}{γ}$ $-m_A u_0 + m_B(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m_B(w) \frac{u_0}{\gamma}$ oder $M_{B} (w) = γ M_{A}$ $m_B(w) = \gamma m_A$ Das ist seltsam, weil die Masse von B nicht von der von A abhängen sollte. Persönlich denke ich, dass ihr Argument für $u' = u_0$ ist fehlerhaft. Denn es spielt keine Rolle, ob die Massen von A und B unterschiedlich sind, aber intuitiv denke ich, dass es so sein sollte. Ich sehe nicht, wie die Kollision elastisch und symmetrisch sein könnte, ohne dass die beiden Teilchen die gleiche Masse haben. Weil ich immer Extremfälle nehmen könnte, wenn einer viel massiver ist als der andere und nach ihrer Argumentation hätten wir immer noch $u' = u_0$ . Oder vielleicht habe ich ihr Argument falsch verstanden und die Massen sind wirklich wichtig. Das ist alles sehr verwirrend für mich.
Es scheint, dass beim Schreiben der Impulsgleichung in die $y$ Richtung, vertreten durch den Autor $m(u_0)$ als $m_0$ während sie in der letzten Gleichung meinten $m_0$ die Ruhemasse zu sein, was sinnvoll ist, weil sich A auch in A's Rahmen in y-Richtung bewegt hat, sodass seine Masse nicht nur die Ruhemasse sein kann $m_0$ . Jedoch bevor man das Limit nimmt $u_0 \rightarrow 0$ , $m(u_0) \rightarrow m(0)$ , die Gleichung für $m(w)$ War $M (w) = \frac{M (u_{0})}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}$ $m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$ und nachdem es das Limit genommen hatte, wurde es $M (v) = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}$ $m(V) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$ Beide Gleichungen sollen jedoch wahr sein und das Endergebnis verwenden, das wir haben sollten $M (w) = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - w^{2} / C^{2}}}$ $m(w) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$ und ähnlich für A im Rahmen von A, $M (u_{0}) = \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - u_{0}^{2} / C^{2}}}$ $m(u_0) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - u_0^2/c^2}}$ Setzen Sie dies in die erste Gleichung ein $M (w) = \frac{M (u_{0})}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}$ $m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$ $= \frac{M_{0}}{\sqrt{(1 - v^{2} / C^{2}) (1 - u_{0}^{2} / C^{2})}}$ $= \frac{m_0}{\sqrt{(1 - V^2/c^2)(1 - u_0^2/c^2)}}$ $= \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - (u_{0}^{2} / C^{2} + v^{2} / C^{2}) + (v u_{0})^{2} / C^{4}}}$ $= \frac{m_0}{\sqrt{1 - (u_0^2/c^2 + V^2/c^2) + (Vu_0)^2/c^4}}$ $= \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - w^{2} / C^{2} + (v u_{0})^{2} / C^{4}}}$ $= \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2 + (Vu_0)^2/c^4}}$ $\neq \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - w^{2} / C^{2}}}$ $\neq \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$ Ich übersehe wahrscheinlich etwas, aber ich kann nicht herausfinden, was.

Philipp Holz

@ Brain Stroke Patient Dies ist eher ein Kommentar als eine Antwort. Ich habe einmal mehrere Versionen der streifenden Kollision untersucht, die verwendet wurden, um die Formel für relativistischen Impuls „abzuleiten“. Trotz des ersten Anscheins war keines der Argumente völlig wasserdicht. Ich kam zu dem Schluss, dass das beste Argument nur Plausibilität beanspruchte, aber den Vorteil von Transparenz und sehr einfacher Algebra hatte. Es geht so... (1) Der transversale Impuls muss eine Lorentz-Invariante sein (damit eine Kollision in verschiedenen Koordinatensystemen in y-Richtung nicht unterschiedlich erscheint) (2) Das wissen wir

m v_{y} = m \frac{Δ y}{Δ t}

$mv_y=m\frac{\Delta y}{\Delta t}$ worin m ist

Philipp Holz

Ich folge der modernen Praxis (gut begründet, imo), das Konzept der „relativistischen Masse“ nicht zu verwenden. Die Ruhemasse kann dann einfach „Masse“ genannt und einfach mit bezeichnet werden

m

$m$ ,

Hirnschlagpatient

Das Argument kenne ich. Es ist sehr beliebt. Ich würde trotzdem gerne wissen, ob das in Kleppner gelieferte Argument fehlerhaft ist oder ob mir einige Punkte fehlen. Viele ältere Lehrbücher und sogar einige neue verwenden immer noch Ableitungen von flüchtigen Kollisionen, daher würde ich sie gerne verstehen.

Philipp Holz

eine Lorentz-Invariante für den Körper ist keine Lorentz-Invariante, weil Δ𝑡 keine Lorentz-Invariante ist. (3) Aber wenn wir Δ𝑡 durch das richtige Zeitintervall Δ𝜏 ersetzen (damit ein Körper Δ𝑦 durchquert), haben wir eine Lorentz-Invariante,

P_{j} = M \frac{Δ j}{Δ τ} = M γ \frac{Δ j}{Δ T} = M γ v_{j} in welchem γ = {(1 - \frac{v^{2}}{C^{2}})}^{- 1 / 2}

$p_y=m \frac{\Delta y}{\Delta \tau}=m\gamma \frac{\Delta y}{\Delta t}=m\gamma v_y \ \ \ \ \ \text{in which} \ \ \ \ \ \gamma=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$ (4) Aus der angenommenen Raumisotropie wissen wir, dass die Impulse in x- und z-Richtung durch ähnliche Formeln gegeben sein müssen. Diese fallen zur Newtonschen Formel zusammen, wenn 𝑣<<𝑐. v << c .

Philipp Holz

Sie sind mit dem K- und K-Argument eindeutig nicht ganz zufrieden, und ich bezweifle, dass es Ihnen eine bessere Rechtfertigung für die relativistische Impulsformel geben wird, wenn Sie es weiter verfolgen. Aber zweifellos haben Sie Ihre eigenen Gründe.

Antworten (1)

Kann die Ableitung der relativistischen Masse in Kleppner nicht verstehen

@ Brain Stroke Patient Dies ist eher ein Kommentar als eine Antwort. Ich habe einmal mehrere Versionen der streifenden Kollision untersucht, die verwendet wurden, um die Formel für relativistischen Impuls „abzuleiten“. Trotz des ersten Anscheins war keines der Argumente völlig wasserdicht. Ich kam zu dem Schluss, dass das beste Argument nur Plausibilität beanspruchte, aber den Vorteil von Transparenz und sehr einfacher Algebra hatte. Es geht so... (1) Der transversale Impuls muss eine Lorentz-Invariante sein (damit eine Kollision in verschiedenen Koordinatensystemen in y-Richtung nicht unterschiedlich erscheint) (2) Das wissen wir $mv_y=m\frac{\Delta y}{\Delta t}$ worin m ist
Ich folge der modernen Praxis (gut begründet, imo), das Konzept der „relativistischen Masse“ nicht zu verwenden. Die Ruhemasse kann dann einfach „Masse“ genannt und einfach mit bezeichnet werden $m$ ,
Das Argument kenne ich. Es ist sehr beliebt. Ich würde trotzdem gerne wissen, ob das in Kleppner gelieferte Argument fehlerhaft ist oder ob mir einige Punkte fehlen. Viele ältere Lehrbücher und sogar einige neue verwenden immer noch Ableitungen von flüchtigen Kollisionen, daher würde ich sie gerne verstehen.
eine Lorentz-Invariante für den Körper ist keine Lorentz-Invariante, weil Δ𝑡 keine Lorentz-Invariante ist. (3) Aber wenn wir Δ𝑡 durch das richtige Zeitintervall Δ𝜏 ersetzen (damit ein Körper Δ𝑦 durchquert), haben wir eine Lorentz-Invariante, $P_{j} = M \frac{Δ j}{Δ τ} = M γ \frac{Δ j}{Δ T} = M γ v_{j} in welchem γ = {(1 - \frac{v^{2}}{C^{2}})}^{- 1 / 2}$ $p_y=m \frac{\Delta y}{\Delta \tau}=m\gamma \frac{\Delta y}{\Delta t}=m\gamma v_y \ \ \ \ \ \text{in which} \ \ \ \ \ \gamma=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$ (4) Aus der angenommenen Raumisotropie wissen wir, dass die Impulse in x- und z-Richtung durch ähnliche Formeln gegeben sein müssen. Diese fallen zur Newtonschen Formel zusammen, wenn 𝑣<<𝑐. v << c .
Sie sind mit dem K- und K-Argument eindeutig nicht ganz zufrieden, und ich bezweifle, dass es Ihnen eine bessere Rechtfertigung für die relativistische Impulsformel geben wird, wenn Sie es weiter verfolgen. Aber zweifellos haben Sie Ihre eigenen Gründe.

Knzhou · Answer 1

Ich sehe nicht, wie die Kollision elastisch und symmetrisch sein könnte, ohne dass die beiden Teilchen die gleiche Masse haben.

Sie haben Recht, aber das ist kein Fehler in der Argumentation. Die Autoren gehen von einer konkreten Situation aus und leiten daraus allgemeine Randbedingungen ab . Wenn Sie die Annahmen ändern, erhalten Sie einen anderen, komplizierteren Aufbau, der nicht sinnvoll wäre.

Was Sie sagen, ist analog zu diesem:

Klepper: Lass $x$ sei die Zahl der Kühe. Da Sie keine negative Anzahl von Kühen haben können, $x \geq 0$ .

Sie: Aber was wäre wenn $x$ ist die Anzahl der Kühe nicht ? Dann könnte es negativ sein, also ist Ihr Argument fehlerhaft.

Als Antwort auf Kommentare: Es gibt tatsächlich einen weiteren Schritt, den Kleppner implizit losgelassen hat. Kleppner hat angenommen, dass es zu einer solchen Kollision kommen kann . Und wie Sie betonen, wäre es nicht möglich, wenn die Massen nicht gleich wären, weder in der relativistischen noch in der nichtrelativistischen Physik.

Hier ist also ein Argument dafür, warum es möglich ist, wenn die Massen gleich sind. Der Anfangszustand im Laborrahmen hat Teilchen gleicher Masse, die sich mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten bewegen. Solange "Impuls" das Vorzeichen umkehrt, wenn das Vorzeichen der Geschwindigkeit umgedreht wird, muss der Anfangsimpuls Null sein. Nach der gleichen Logik ist auch der endgültige Impuls Null. Der Aufbau stimmt also mit der Impulserhaltung überein.

Dann könnten Sie fragen, woher Sie wissen, dass der Impuls das Vorzeichen umkehrt, wenn die Geschwindigkeit das Vorzeichen umkehrt? Aber das ist ähnlich wie die Frage „Woher weißt du das? $x$ bedeutet die Anzahl der Kühe?" Wir suchen Erhaltungsgrößen in einem neuen Zusammenhang, und eine Erhaltungsgröße würde den Namen "Impuls" nur verdienen, wenn sie diese Grundvoraussetzung erfüllt.

Es scheint, dass beim Schreiben der Impulsgleichung in die $y$ Richtung, vertreten durch den Autor $m(u_0)$ als $m_0$

Das Argument ist richtig, aber ihre Notation ist sehr verwirrend, weil sie nicht explizit genug ist. Indem man alle Masse-Abhängigkeit in der $m$ 's und $\gamma$ 's explizit, ihre $y$ -Impulsgleichung ordnet sich neu an

M (u_{0}) u_{0} = M (w) u_{0} / γ (v) .

$m(u_0) u_0 = m(w) u_0 / \gamma(V).$ Bei Kündigung a

u_{0}

$u_0$ und nehmen

u_{0} \to 0

$u_0 \to 0$ Auf beiden Seiten haben wir

M (0) = M (v) / γ (v)

$m(0) = m(V) / \gamma(V)$ das ist genau die gewünschte Schlussfolgerung. Ihre Frage ist nun, ob dies selbstkonsistent ist, wenn wir es wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wenn wir das tun, bekommen wir

γ (u_{0}) M (0) u_{0} = γ (w) M (0) u_{0} / γ (v)

$\gamma(u_0) m(0) u_0 = \gamma(w) m(0) u_0 / \gamma(V)$ und Aufhebungsfaktoren gibt

γ (u_{0}) γ (v) = γ (w) .

$\gamma(u_0) \gamma(V) = \gamma(w).$ Wenn man das umgekehrte Quadrat beider Seiten nimmt, erhält man

(1 - u_{0}^{2}) (1 - v^{2}) = (1 - w^{2})

$(1 - u_0^2)(1-V^2) = (1-w^2)$ wo ich hinsetze

c = 1

$c = 1$ . Ein bisschen vereinfachen gibt

u_{0}^{2} + v^{2} - u_{0}^{2} v^{2} = w^{2} .

$u_0^2 + V^2 - u_0^2 V^2 = w^2.$ Da die Geschwindigkeit

w

$w$ hat Komponenten

V

$V$ Und

u_{0} / γ (V)

$u_0 / \gamma(V)$ , wir haben

w^{2} = v^{2} + (u_{0} / γ (v))^{2} = v^{2} + u_{0}^{2} (1 - v^{2})

$w^2 = V^2 + (u_0 / \gamma(V))^2 = V^2 + u_0^2 (1 - V^2)$ die exakt der gewünschten linken Seite entspricht. Es ist also selbstkonsistent.

Ah, jetzt sehe ich, welchen Fehler ich im zweiten Teil gemacht habe. ich nahm an $w^2 = V^2 + u_0^2$ was falsch war. Aber deinen ersten Punkt verstehe ich immer noch nicht. In Ihrem Beispiel verwenden wir die Tatsache, dass die Anzahl der Kühe nicht negativ sein kann, um dies zu behaupten $x \ge 0$ aber in Kleppners Beweis von $u' = u$ , verwendet er niemals die Tatsache, dass die beiden Massen gleich sind
Ich könnte die Anfangsgeschwindigkeiten immer so wählen, dass sie sich zumindest symmetrisch annähern und das sollte nicht von ihrer Masse abhängen. Könnte es sein, dass, wenn ihre Massen unterschiedlich sind, der Stoß unelastisch sein muss, so dass ihre Ruhemassen vor und nach dem Stoß unterschiedlich sind? Denn das würde die Impulsgleichung in x-Richtung erklären und nicht implizieren $u' = u$
@BrainStrokePatient Ich habe weitere Details hinzugefügt. Beantwortet es Ihre Frage?

Kann die Ableitung der relativistischen Masse in Kleppner nicht verstehen

Hirnschlagpatient

Philipp Holz

Philipp Holz

Hirnschlagpatient

Philipp Holz

Philipp Holz

Antworten (1)

Knzhou

Hirnschlagpatient

Hirnschlagpatient

Knzhou

Bedeutet relativistische Massenzunahme nicht eine erhöhte Energie, die freigesetzt wird, wenn Materie in Energie umgewandelt wird?

Wenn sich die Ruhemasse nicht mit vvv ändert, warum ist dann unendlich viel Energie erforderlich, um ein Objekt auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen?

Relativistische Masse aus verschiedenen Bezugsrahmen betrachtet

Warum gewinnt ein Objekt mit höherer Geschwindigkeit mehr (relativistische) Masse? [Duplikat]

Masse-Energie in der Relativitätstheorie

Haben wir relativistische Masse, selbst wenn wir auf der Erde ruhen?

Postulate der Speziellen Relativitätstheorie

Kann ein Proton von selbst in Elementarteilchen zerfallen, wenn seine Geschwindigkeit sich der Lichtgeschwindigkeit annähert?

Was hindert Masse daran, sich in Energie zu verwandeln?

Tonsignale würden beide Städte gleichzeitig erreichen