Kann ein Gebäude nachts höher werden?

Ich denke nicht, dass dies als Schätzung überhaupt unangemessen klingt. Lass es uns überprüfen.

Man entwirft ein Gebäude als Kompromiss zwischen zwei konkurrierenden Faktoren:

1. Alle lasttragenden Materialien müssen gut mäßig belastet sein - in ihrem linearen Bereich arbeiten, damit keine Gefahr besteht, dass sie einer plastischen (irreversiblen) Verformung unterliegen, kriechen und schließlich katastrophal versagen;

2. Leicht belastete tragende Elemente bedeuten jedoch nicht ausgelastete Elemente: Wenn wir die Dinge zu sehr überdimensionieren, treiben wir die Kosten enorm in die Höhe.

Betrachten wir der Einfachheit halber die Drucktragfähigkeit des Gebäudes gegenüber seinem eigenen Gewicht: Es muss auch Scherbelastungen durch Wind standhalten, aber allein die Betrachtung des Gewichts bringt uns zu einer ungefähren Zahl.

Typische Materialien verhalten sich unter Belastung so, wie es durch eine Kurve mit folgendem Verlauf beschrieben wird:

Diese Kurve habe ich der Wikipedia-Seite "Compressive Stress" entnommen .

Wir wollen also, dass alle lasttragenden Elemente einer Spannung ausgesetzt sind, die im spannungsarmen, linearen Teil dieser Kurve liegt. Der obere Punkt des linearen Bereichs wird Streckgrenze genannt und wir müssen deutlich darunter liegen, da hier das Stützmaterial plastisch, irreversibel verformt wird und letztendlich Gefahr läuft zu versagen. Aber wir wollen nicht zu weit unter diesem Punkt sein, sonst fügen wir dem Gebäude unnötig Material und Kosten hinzu.

Ich weiß nicht, was Bauingenieure verwenden, aber ein Faktor von einem Viertel der Streckgrenze erscheint vernünftig. Bei Beton ist die Kurve bis zu dem Punkt, an dem der Beton versagt, linearer als oben: Dies geschieht, wenn er eine Kompression von etwa erreicht$40{\rm MPa}$(Siehe hier die „Engineering Toolbox “). In seinem linearen Arbeitsbereich ist sein Elastizitätsmodul$E = 30{\rm GPa}$, also bei einer Spannung von einem Viertel seiner Stärke ( dh bei$10{\rm MPa}$) seine Druckspannung ist

Für Stahl hat hochfester Baustahl eine Streckgrenze von irgendwo in der Nähe von$300{\rm MPa}$und sein Elastizitätsmodul ist$200{\rm GPa}$. Wenn es also mit einem Viertel seiner Streckgrenze „arbeitet“, haben wir:

also eher nahe dem Wert für Beton. Ob die Last also von Beton oder Stahl getragen wird, bei gleicher „Ausnutzung“, dh gleichem Bruchteil der Streckgrenze, zeigen beide Materialien etwa die gleiche Dehnung.

Die kostenoptimale Konfiguration besteht nun darin, dass das gesamte tragende Material im Gebäude mit demselben Bruchteil seiner Streckgrenze arbeitet . Das bedeutet, dass die Tragfähigkeit mit der Höhe abnimmt: Die oberen tragenden Elemente müssen nur das darüber liegende Gebäude halten. Das ist nicht ganz richtig – für Taipei 101 zum Beispiel gibt es ein riesiges Pendel hoch im Gebäude, um Windschwankungen entgegenzuwirken – aber die Annahme, dass die gesamte Struktur in etwa dem gleichen Druckzustand ist, ist wahrscheinlich eine gute Arbeitsschätzung.

Dies ist dann unser Schlüssel zu unserer Schätzung:

Die gesamte Struktur erfährt über ihre gesamte Höhe eine konstante Druckbelastung von$\epsilon = 3.5\times10^{-4}$

50 000 Menschen belasteten ca$5\times 10^4\times 60{\rm kg}$oder ungefähr 3000 Tonnen auf dem Gebäude. Daraus erhalte ich eine Schätzung von 700.000 Tonnen für die Gesamtmasse von Taipei 101. Die Masse des Gebäudes ist viel größer als die der Menschen, also nehmen wir an, dass die Belastung des Gebäudes bei 700.000 Tonnen liegt$\epsilon = 3.5\times10^{-4}$. Das bedeutet, dass 3000 Tonnen, die gleichmäßig über das Gebäude verteilt sind, eine weitere Belastung darstellen von:

Bei einem Gebäude in der Höhe von Taipei 101 (500 m) entspricht dies einer Höhenschrumpfung$1.5\times 10^{-6}\times 500 = 750{\rm \mu m}=0.75{\rm mm}$.

Dies kommt Ihrer Schätzung bemerkenswert nahe. Da ich kein Bauingenieur bin, ist es durchaus möglich, dass Materialien mit unterschiedlicher Festigkeit verwendet werden und dass es sichere Praxis sein kann, näher an der Streckgrenze zu entwerfen, als ich angenommen habe. Eine Zahl von 1,5 mm impliziert eine konstante "Ausnutzung" von Materialien bei der Hälfte ihrer Streckgrenze: Auch dies klingt vernünftig (ein bisschen beängstigend für jemanden wie mich, aber immer noch glaubwürdig). Es ist wahrscheinlich auch billiger, teurere, höherfeste Materialien in den unteren Abschnitten des Gebäudes und billigere, geringere Festigkeit im oberen Teil zu verwenden und damit von meiner konstanten Auslastung / konstanten Belastung mit Höhenannahme abzuweichen.

Daher halte ich Ihr zitiertes Schrumpfen für sehr glaubwürdig. Es ist definitiv im richtigen Stadion.

Der Elastizitätsmodul ist das Verhältnis von Zugspannung zu Zugdehnung für ein Material:

E = (F/A)/(∆L/L) = (F * L) / (A * ∆L)

F/A ist die Kraft pro Fläche und (∆L/L) ist die Längenänderung pro Originallänge

Für Baustahl beträgt der Elastizitätsmodul 200 Gigapascal. Diese Größe kann verwendet werden, um vorherzusagen, wie stark sich der Stahl unter einem gegebenen Gewicht pro Flächeneinheit zusammendrücken wird.

Das Verhältnis der Höhe eines Wolkenkratzers zu seiner Breite beträgt typischerweise 5/1 oder 7/1. Ich würde erwarten, dass sich ein 1300-Fuß-Wolkenkratzer in der Nähe des unteren Endes befindet, also wäre die Seite eines Stockwerks wahrscheinlich 1300/5 = 260, was die Grundfläche 260 ^ 2 = 67.600 sf machen würde. Wenn ich die Querschnittsfläche jedes Stahlpfostens und die Anzahl der Pfosten, die das Gebäude tragen, wild errate, werde ich sagen, dass der kombinierte Stahlquerschnitt 5 % der Grundfläche oder 3.380 sf = 314 Quadratmeter beträgt.

Das Gewicht von 50.000 Menschen beträgt ungefähr 7.000.000 Pfund oder 31.138.000 Newton Kraft, die auf 314 Quadratmeter Stahl ausgeübt werden, oder 99.165 Newton pro Quadratmeter. Da die oberen Pfosten jedoch zunehmend weniger Gewicht tragen als die unteren Pfosten, werde ich sagen, dass dies von der Hälfte von 1.300 = 650 linearen Fuß oder 198 Metern Stahl getragen wird.

Sie können den Elastizitätsmodul verwenden, um die Kompression während des Tages und die Expansion in der Nacht zu berechnen, wenn die Personen weg sind (ohne die Auswirkung der Temperaturschwankung zwischen Tag und Nacht zu berücksichtigen):

200 Gigapascal = (31.138.000 * 198) / (314 * ∆L)

∆L = 0,103 Meter = 103 Millimeter, das ist viel mehr als die von UberFacts getwitterten 1,5 Millimeter. Die Diskrepanz zwischen mir und UberFacts ist groß. Vielleicht aufgrund meiner Annahmen?

Lassen Sie uns einen Kostenvoranschlag machen. Angenommen, der Wolkenkratzer sei 400 m hoch, jedes Stockwerk 4 m hoch, 500 Personen pro Stockwerk, 20 m2 pro Person, 10000 m2 pro Stockwerk, nehmen wir an, dass das Gebäude im Grundriss ein Quadrat von 100 x 100 m2 ist und nur 10 cm hat dicke tragende Wände in einem Raster von 25x25m2. Die Querschnittsfläche der tragenden Wände beträgt also 2 x 5 x 100 x 0,1 m2 = 100 m2. Nehmen wir an, dass das Gewicht einer durchschnittlichen Person 1000 N beträgt und der Elastizitätsmodul von Beton 50 GPa beträgt. Somit würde ein Gewicht von 100 m2 x 50 GPa= 5x10^12 N die Betonwände um 400 m zusammenziehen (klingt blöd, ist aber egal). Dann würde das Gewicht der Menschen 1000 N x 50000=5x10^7 N die Betonwände um 400 m/10^5=4mm zusammenziehen. Ihre Zahl von 1,5 mm erscheint also nicht unverschämt. Lassen Sie mich anmerken, dass 4 mm eine zusätzliche Kontraktion in Bezug auf die Kontraktion unter dem Eigengewicht des Gebäudes sind. Lassen Sie mich auch anmerken, dass die tatsächliche Struktur Struktursäulen anstelle von Strukturwänden haben kann.

BEARBEITEN: @Ernie erwähnte den Effekt der thermischen Ausdehnung / Kontraktion. Sieht so aus, als wäre dieser Effekt viel wichtiger. Der Wärmeausdehnungskoeffizient von Beton beträgt etwa 10^(-5)/Grad. C, daher beträgt die Ausdehnung/Kontraktion 400 mx 10^(-5)/Grad. C = 4 mm/Grad C.