Kann eine konservative Kraft mechanische Energie nicht erhalten?

Lassen Sie uns eine konservative Kraft als eine Kraft definieren, deren Arbeit pfadunabhängig ist. Dann ist insbesondere eine verschwindende Kraft konservativ.

Lässt sich eine auf ein Teilchen wirkende Kraft aus einer Skalarfunktion schreiben, F → = − ∇ → U ( R → , T ) , dann ist die Änderung der mechanischen Energie

D E D T = ∂ U ∂ T .
Wenn U explizit von der Zeit abhängt, dann ist die mechanische Energie nicht erhalten.

Betrachten Sie nun einen Fall, in dem die potentielle Energie nur von der Zeit abhängt U = U ( T ) . Zum Beispiel ein geladenes Teilchen in einer geladenen leitenden Kugel, deren Ladung sich mit der Zeit ändert. Die Kraft auf das Teilchen ist Null, also konservativ. Andererseits ändert sich das Potential gleichmäßig mit der Zeit und

D E D T = ∂ U ∂ T ≠ 0.

Stimmt es, dass eine konservative Kraft keine Energieeinsparung bedeutet, wie dieses Beispiel nahelegt?

Wenn U kommt drauf an T , dann ist das System nicht geschlossen: Es gibt einen externen Agenten, der etwas von außen bringt/entfernt. Kein Wunder, dass die Energie des Systems in diesem Fall nicht erhalten bleibt.
Ich denke, Sie haben in Ihrem zweiten Beispiel fälschlicherweise eine partielle Ableitung verwendet U ist nur eine Funktion der Zeit, dh U = U ( T ) .

Antworten (3)

Ja, das ist richtig.

Die Position unseres Teilchens sei gegeben durch X ( T ) , und sei die potentielle Energiefunktion U ( R , T ) . Die Gesamtenergie des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt T ist dann

E ( T ) = 1 2 M | X ˙ ( T ) | 2 + U ( X ( T ) , T )

und so

E ˙ ( T ) = X ˙ ( T ) ⋅ [ M X ¨ ( T ) + ∇ U ( X ( T ) , T ) ] + ∂ U ∂ T ( X ( T ) , T )

Denn die Kraft auf das Teilchen zur Zeit T wird von gegeben

F ( T ) = − ∇ U ( X ( T ) , T ) = ⏟ Newtons 2 M X ¨ ( T )

der erste Term verschwindet immer , ob U hängt von der Position ab oder nicht. Dies lässt uns mit

E ˙ ( T ) = ∂ U ∂ T ( X ( T ) , T )

Die Idee der potentiellen Energie, die Sie oben verwendet haben, ist nur eine Abkürzung. Was in Situationen wie dieser immer vor sich geht, ist, dass wir ein größeres System haben, sagen wir mit einem kleinen Objekt und einem großen Objekt. Die potentielle Energie ist eine Funktion ihrer beiden Konfigurationen. Aber oft können wir das große Objekt als ortsfest betrachten, in diesem Fall hängt die potentielle Energie nur von der Konfiguration des kleinen Objekts ab, und wir können es uns als allein dem kleinen Objekt zugehörig vorstellen. Die Energie des kleinen Objekts bleibt dann erhalten. Dies bricht natürlich zusammen, wenn Sie dem großen, festen Objekt erlauben, sich zu bewegen.

Betrachten Sie zum Beispiel einen Ball mit Position R und die Erde mit Position R . Lassen Sie ihre kinetischen Energien sein K B Und K E . Ihre potentielle Energie ist

U ( R , R ) = − G M M | R − R | .
Die Gesamtenergie ist
E = K B + K E + U ( R , R )
die konserviert ist. Aber für viele Situationen ist es gut genug, die Erde als feststehend zu behandeln. In diesem Fall, K E ist einfach Null, und wir können die feste Position der Erde hineinstecken U ( R , R ) um "die potentielle Energie des Balls" zu erhalten,
U ( R ) = M G z
die nur von der Position des Balls abhängt und eine konservative Kraft ist. Wir können uns die verbleibende Energie als die Energie des Balls allein vorstellen,
E B = K B + U ( R )
und diese Menge bleibt erhalten. Dies ist der Ausgangspunkt Ihrer Analyse.

Das Problem ist, dass Sie als Nächstes anfangen, das feste System bewegen zu lassen. Sobald Sie dies getan haben, machen die beiden vorangegangenen Schritte natürlich keinen Sinn mehr, und Sie müssen zum vollständigen Ausdruck für Energie zurückkehren, der erhalten bleibt.

Ich stimme zu, dass dies wahr ist, stelle jedoch den allgemeinen Nutzen in Frage, ein Modell zu erweitern, bis die Energieeinsparung gilt. Wenn wir schließlich ein geladenes Teilchen in einem oszillierenden Feld modellieren wollen, müssen wir meiner Meinung nach entweder (a) unser Modell erweitern, um die Fusionsreaktionen in der Sonne einzubeziehen, oder (b) einfach ein Potential mit Explicit aufschreiben Zeitabhängigkeit.
@J.Murray Sicher, es ist vielleicht nicht nützlich, ich versuche nur, zum konzeptionellen Punkt zu kommen.
Ich stimme mit Ihnen ein. Was mich aber stört, ist die Tatsache, dass die Definition einer konservativen Kraft nur vom Kraftfeld abhängt. Es spielt keine Rolle, was es erzeugt oder wie das System definiert ist. Andererseits hängt die Energieerhaltung von Teilchen und der Definition des Systems ab.
Übrigens, wenn ich die Änderung der Energie der Kugel (mein Beispiel) mit einbeziehe, sollte die Änderung der mechanischen Energie des Systems (Kugel + Teilchen) verschwinden, oder?

Kann das Potential einer konservativen Kraft überhaupt zeitabhängig sein? Es wird nicht sein. Und daher sollte das angegebene Beispiel nicht funktionieren.

Kann eine konservative Kraft mechanische Energie nicht erhalten?
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