Kann eine Massenmatrix asymmetrisch sein?

Question

Kann eine Massenmatrix asymmetrisch sein?

adipro

Ich entwickle ein mathematisches Modell eines mechanischen Geräts, das im Wesentlichen aus gekoppelten harmonischen Oszillatoren besteht. Es stellt sich heraus, dass die Massenmatrix des Systems asymmetrisch ist. Ich scheine irgendwo gelesen zu haben, dass eine Massenmatrix symmetrisch sein muss, aber ich bin mir nicht sicher. Ich würde also gerne wissen, ob es möglich ist, dass eine Massenmatrix in diesem Fall asymmetrisch ist. Wenn dies nicht möglich ist, was sind die physikalischen Auswirkungen einer asymmetrischen Massenmatrix in diesem Fall?

Ruslan

Was meinst du mit Massenmatrix? Tensor der effektiven Masse ?

DaP

Könnten Sie genauer sein? Von welcher Massenmatrix sprechen Sie, einem effektiven Massentensor wie bei einem Halbleiter? Oder die Massenmatrix der analytischen Mechanik?

adipro

Ich meine eine Massenmatrix in einem einfachen dynamischen System.

John Alexiou

In der Welt der Robotik und dynamischer Systeme ist die Massenmatrix immer symmetrisch. Es ist auch positiv definit, ein Ergebnis der kinetischen Energie

K = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{⊤} M \dot{Q}

$K=\frac{1}{2} \dot{q}^\top M \dot{q}$ immer positiv sein.

adipro

@ja72, könntest du bitte deinen Kommentar als Antwort schreiben?

John Alexiou

Sie haben Recht. Ich habe es als Antwort hinzugefügt.

Antworten (3)

Kann eine Massenmatrix asymmetrisch sein?

Was meinst du mit Massenmatrix? Tensor der effektiven Masse ?
Könnten Sie genauer sein? Von welcher Massenmatrix sprechen Sie, einem effektiven Massentensor wie bei einem Halbleiter? Oder die Massenmatrix der analytischen Mechanik?
Ich meine eine Massenmatrix in einem einfachen dynamischen System.
In der Welt der Robotik und dynamischer Systeme ist die Massenmatrix immer symmetrisch. Es ist auch positiv definit, ein Ergebnis der kinetischen Energie $K = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{⊤} M \dot{Q}$ $K=\frac{1}{2} \dot{q}^\top M \dot{q}$ immer positiv sein.
@ja72, könntest du bitte deinen Kommentar als Antwort schreiben?

Zoltan Zimboras · Answer 1

Ich stimme der Antwort von Lubos zu (und ja72 hat Recht, dass es auch ein Positivitätskriterium gibt). Da Sie die Frage jedoch erneut an ja72 wiederholt haben, lassen Sie mich die Antwort von Lubos expliziter und detaillierter erläutern.

Angenommen, in Ihrem System harmonischer Oszillatoren ist der kinetische Term mit einer Massenmatrix definiert $M$ , dh (wie in der Antwort von ja72):

K = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} M \dot{Q}

$K=\frac{1}{2} \dot{q}^T M \dot{q}$

Definieren Sie nun Folgendes zu Matrizen $M_s=\frac{1}{2}(M+M^T)$ Und $M_a=\frac{1}{2}(M-M^T)$ . Es ist sehr einfach, das zu überprüfen $M=M_s+M_a$ , $M_s^T=M_s$ Und $M_a^T=-M_a$ . Aufgrund dieser Eigenschaften $M_s$ heißt der symmetrische Teil von $M$ , während $M_a$ wird als antisymmetrischer Anteil bezeichnet (dafür werden auch die Begriffe Lubos verwendet).

Nun, lasst uns das seitdem beachten $M_a$ ist die Identität antisymmetrisch $v^T M_a v=0$ gilt für jeden Vektor $v$ . Wenn wir den kinetischen Term erneut schreiben, erhalten wir

K = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} M \dot{Q} = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} M_{S} \dot{Q} + \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} M_{A} \dot{Q} = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{T} M_{S} \dot{Q}

$K=\frac{1}{2} \dot{q}^T M \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T M_s \dot{q} + \frac{1}{2} \dot{q}^T M_a \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T M_s \dot{q}$

Somit $M_s$ definiert genau den gleichen kinetischen Begriff wie $M$ ! Das bedeutet, dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen können, dass die Massenmatrix symmetrisch ist. Oder anders gesagt: immer dann, wenn man eine kinetische Energie mit einer unsymmetrischen Massenmatrix aufschreibt $M$ , Sie können den antisymmetrischen Teil einfach vergessen und die gleiche kinetische Energie mit aufschreiben $M_s$ - es führt einfach zum selben System.

Ich hoffe, dass diese ausführlichere Erklärung zum Verständnis der Antwort beiträgt (die ebenfalls zuvor gegeben wurde). Zögern Sie nicht zu fragen, wenn noch etwas unklar ist.

Beste, Zoltán

Das ist in der Tat nützlich, danke. Ich sehe jetzt, dass der antisymmetrische Anteil nicht zur kinetischen Energie beiträgt. Ich denke also, es gibt keine Möglichkeit zu wissen, ob meine Massenmatrix korrekt ist, indem ich ihre Symmetrie betrachte? Nehmen wir zum Beispiel an, ich erreiche eine Massenmatrix $M = \begin{pmatrix} a & c & 0\\ c & b & 0\\ e & 0 & d \end{pmatrix}$ . Die kinetische Energie für diese Matrix wäre dieselbe wie die für Matrix $M_s = \begin{pmatrix} a & c & e/2\\ c & b & 0\\ e/2 & 0 & d \end{pmatrix}$ . Kann ich aber sagen ob $e$ sollte da sein oder nicht drin $M$ , an erster Stelle?
Ja, beide Ihrer Matrizen ergeben denselben kinetischen Term! Genau, wie du gesagt hast. (Von diesem Standpunkt aus halte ich es nicht für sinnvoll, darüber zu sprechen, wo $e$ sollte an erster Stelle stehen.) Ich freue mich, dass ich helfen konnte, indem ich die Antworten der anderen erweiterte. Gruß, z

Lubos Motl · Answer 2

Wann immer die Masse als reelle Matrix ausgedrückt wird $M$ , der Massenterm oder etwas anderes Wichtiges ist ein bilinearer Ausdruck. Beispielsweise ist die effektive Masse in der Physik der kondensierten Materie die Massenmatrix $M$ so dass der kinetische Term des Hamiltonoperators geschrieben wird als

E_{k} = \frac{ℏ^{2}}{2 M} \vec{k} \cdot M^{- 1} \cdot \vec{k}

$E_k = \frac{\hbar^2}{2m} \vec k \cdot M^{-1} \cdot \vec k$ Wo

M^{- 1}

$M^{-1}$ ist die inverse Matrix. Man kann die letztere Matrix immer in den symmetrischen und den antisymmetrischen Teil teilen. Der antisymmetrische Teil beeinflusst den Hamiltonian überhaupt nicht (beeinflusst die Physik nicht), da er mit dem symmetrischen Tensor kontrahiert wird

k_{i} k_{j}

$k_i k_j$ . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir also fordern, dass die Matrix symmetrisch ist, und jeder tut dies.

In einigen Zusammenhängen, wie den Massentermen für komplexe Felder in der Quantenfeldtheorie, ist es nur der hermitische Teil der Massenmatrix, der den Lagrange oder den Hamiltonian beeinflusst, weil der Term es ist $\bar\psi \cdot M \cdot \psi$ mit einem zusätzlichen Balken (komplexe Konjugation). In diesem Fall nehmen wir an, dass die Massenmatrix aus einem zum vorherigen Absatz analogen Grund hermitesch ist; der antihermitische Teil trägt nicht bei.

Dies beantwortet die Frage nicht, kein bisschen. Die Frage verwendet den Begriff "Massenmatrix" im Zusammenhang mit mechanischen Geräten wie Roboterarmen. Insbesondere stellt sich die Frage nach physikalisch gekoppelten harmonischen Oszillatoren.
@DavidHammen, deine Beschwerde macht auf keiner Ebene Sinn. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Massenmatrix Roboterarme oder etwas anderes beschreibt. Die Mathematik und die allgemeinen physikalischen Gründe für Symmetrie, Antisymmetrie oder die Rolle der beiden Teile sind immer gleich. Mit einem ausreichend allgemeinen Verständnis von "gekoppelten linearen Oszillatoren" kann jedes Beispiel, in dem wir Massenmatrizen benötigen, als ein System gekoppelter linearer Oszillatoren angesehen werden, und genau darauf bezogen sich sowohl die Frage als auch meine Antwort.

John Alexiou · Answer 3

In der Welt der Robotik und dynamischer Systeme ist die Massenmatrix immer symmetrisch. Es ist auch positiv definit, ein Ergebnis der kinetischen Energie

K = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{⊤} M \dot{Q}

$K=\frac{1}{2} \dot{q}^\top M \dot{q}$

immer positiv sein.

Ist es also richtig zu sagen, wann $M \neq M^\top$ , ist die kinetische Energie des Systems falsch?
Hallo, da Sie dies erneut gefragt haben, habe ich eine ausführlichere Antwort hinzugefügt. Ich hoffe das hilft. Beifall!
@adipro nur die symmetrischen Teile tragen zum KE bei. Es ist, als würde diese Transformation intern passieren $M \rightarrow \frac{1}{2} ( M + M^\top )$

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