Kann jeder kritische 1D-Zustand durch ein MERA-Tensornetzwerk dargestellt werden?

Mein Verständnis des Multiscale-Entanglement-Renormalisation-Ansatzes (MERA) ist, dass er darauf ausgelegt ist, stark verschränkte Zustände mit geringer Komplexität darzustellen.

Ist MERA in der Lage, hochkomplexe Zustände darzustellen? Könnte es zum Beispiel den historischen Grundzustand eines Feynman-Kitaev-Hamiltonoperators darstellen, der eine Berechnung codiert? Können wir diese Zustände (theoretisch) mit einer MERA beschreiben, aber in der Praxis ist es rechnerisch schwierig, die notwendigen Isometrien und Unitarien zu finden? Was hindert uns daran, diese Zustände zu beschreiben?

Antworten (1)

Es hängt davon ab, was Sie unter "hochkomplexen Zuständen" und unter "hoch verschränkt" verstehen.

MERA kann Zustände beschreiben, die eine Verschränkungsskalierung haben E ∝ Protokoll ⁡ N , Wo N ist die Länge der Kette bei festem Bindungsmaß χ .

Wenn Sie für ein QMA-Problem über historische Zustands-Hamiltonianer oder Zustände wie die in arXiv:1408.1657 sprechen , haben diese eine Verschränkung, die algebraisch mit der Länge der Kette skaliert, E ∝ N a -- dies erfordert eine ausreichend große Bindungsdimension χ diese Verstrickung zu reproduzieren, das heißt, χ wird wie skalieren exp ⁡ ( N a ) , und ist somit ineffizient.

Beachten Sie, dass alle diese Zustände Grundzustände lokaler Hamiltonoperatoren sind und in diesem Sinne eine geringe (Kolmogorov-) Komplexität aufweisen.

Danke für die Antwort! Gibt es Tensornetzwerktechniken, die verwendet werden können, um historische Zustände effizient darzustellen (wie bei QMA-Problemen)? Gibt es auch eine Referenz für die Entropie von QMA-Verlaufszuständen mit Entropieskalierung als N a ?
@ user138901 In Bezug auf den Verlaufsstatus handelt es sich um eine Überlagerung von Konfigurationen gleichzeitig T in der Berechnung. Führen Sie einfach eine Schaltung aus, die einen hochgradig verschränkten Zustand erzeugt. (Verschränkung = Schaltungsgröße, Systemgröße = Schaltungsgröße * Gesamtzeit = Poly(Schaltungsgröße)). In Bezug auf die erste Frage sollte es dafür Tensornetzwerktechniken geben, indem man die Schaltung für den Zustand zu der Zeit betrachtet T B. als Tensornetzwerk, und dann Überlagerung der verschiedenen Zeiten (Tensornetzwerk für einen W-Zustand). Aber warum willst du das?
Ich versuche, ein Renormalisierungsschema für einen Hamiltonian zu finden, der eine QMA-Berechnung (oder ähnliches) codiert. Ich habe mich gefragt, ob man den historischen Zustand des Grundzustands als MERA darstellen und dann auf die übliche Weise (unter Verwendung der anhebenden Superoperatoren) ein Renormalisierungsschema anwenden könnte. Wenn wir jedoch eine Überlagerung von MERAs (oder einem anderen Tensornetzwerk) benötigen, um dies zu tun, würde dieses Renomalisierungsschema immer noch funktionieren? Gibt es andere Renormalisierungsschemata, die dafür funktionieren könnten? Ich würde es nur für einen 1D-Hamiltonian brauchen.
@ user138901 Was bedeutet "Renormalisierungsschema für eine Hamiltonsche Codierung einer QMA-Berechnung" ? Was wären seine Eigenschaften? Was würde es mit dem Geschichtsstaat machen? Ad hoc scheint mir das wenig Sinn zu machen.
Idealerweise wäre das RG-Schema ein reales Raumschema – ähnlich dem Blockieren – das die Grundzustandsenergie (oder den Niederenergie-Unterraum) des Hamilton-Operators bewahren und gleichzeitig die Anzahl der Spins/Teilchen im System reduzieren würde. Da die Grundzustandsenergie erhalten bleibt, ist die Bestimmung des Grundzustands dieses neuen, renormierten Hamiltonoperators immer noch QMA-schwer. So ähnlich. Es schien, als wäre MERA vielversprechend, denn wenn wir den historischen Grundzustand als MERA beschreiben könnten, dann bietet MERA ein natürliches Renormierungsschema für den realen Raum mit ähnlichen Eigenschaften.
@ user138901 Aber ein QMA-Hamiltonian hat eine endliche Größe. Wenn Sie renormieren, erhalten Sie schließlich einen kleinen (lösbaren) Hamilton-Operator. Wie kann das QMA-hart sein? Dann müsste Ihr RG-Schema QMA-hart sein?
"Dann müsste Ihr RG-Schema QMA-hart sein?" -- Exakt! Ich möchte nur die Existenz eines Schemas demonstrieren, das theoretisch mit einer festen lokalen Hilbert-Raumdimension durchgeführt werden könnte, während eine hohe Präzision beibehalten wird. Zum Beispiel könnten wir sagen, dass wir theoretisch MERA verwenden könnten, um den Zustand zu erstellen, aber die dafür erforderlichen Unitarien und Isometrien tatsächlich zu finden, wäre QMA-schwierig (offensichtlich ist MERA, wie oben erwähnt, im Allgemeinen nicht in der Lage, zu beschreiben Geschichte sagt, aber die Idee steht immer noch).
@ user138901 Das klingt ziemlich diffus. Was ich mir vorstellen könnte, ist ein RG-Schritt, der bei der QMA-Verifizierung zwei Rechenschritte durch einen ersetzt. Dies würde auf eine Art RG-Schema hinauslaufen (obwohl dies nur den Freiheitsgrad "Zeit" renormieren würde, nicht die Qubits in der Verifizierung. Ich bin mir nicht sicher, wie letztere auf sinnvolle Weise renormiert werden könnten.)
Das könnte auch ein interessanter Ansatz sein, den es zu erkunden gilt! Ich werde weiterhin versuchen, ein vernünftiges RG-Schema zu finden, das für einen Geschichtszustands-Hamiltonianer funktioniert. Danke Norbert für die Hilfe!
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