Kann man den "Abstand" zwischen Akkorden messen? Wenn das so ist, wie?

Die einfachste und wahrscheinlich am häufigsten verwendete Metrik (wenn auch nur implizit) besteht darin, die Anzahl der Schritte zwischen den Grundtönen der Akkorde entlang einer eindimensionalen Linie von Quinten zu zählen(oder der Quintenzirkel, wenn Sie Enharmonik und modulare Arithmetik zulassen). Ich sage, dass dies die am häufigsten verwendete ist, weil Akkordfolgen, bei denen der Grundton um eine Quarte oder Quinte auf- oder absteigt (die nach dieser Metrik einen Abstand von eins haben), in vielen Stilen westlicher Musik am häufigsten verwendet werden, was darauf hinweist, dass diese Akkorde sind in gewissem Sinne "nah". In Ihrer Progression würde diese Metrik Abstände von 3, 1, 1, 1 ergeben. Diese Metrik hat die Eigenschaft, dass sie gut zu tonaler Musik passt, da die Tonika/Dominanz-Beziehung, die die Tonalität definiert, eine Distanz von eins hat. Und selbst wenn Sie beginnen, sich leicht von Akkorden in Ihrer aktuellen Tonart zu entfernen, werden Sie am Ende "eng verwandte" Tonarten besuchen. Da diese Metrik nur die Grundtöne betrachtet, kümmert sie sich nicht um die Akkordqualität (Dur vs.

Dom hat bereits eine zweite mögliche Metrik erwähnt: die Anzahl der gemeinsamen Töne (oder genauer gesagt die Anzahl der ungewöhnlichen Töne). Je mehr Töne zwei Akkorde gemeinsam haben, desto "näher" werden sie betrachtet. Dies funktioniert besonders gut, wenn Sie Akkorde als Formen in einem Tonnetz- Raster darstellen. In diesem Fall werden alle Ihre Triaden als Dreiecke gesehen. Die "nächstgelegenen" Akkorde nach dieser Metrik sind diejenigen, die zwei gemeinsame Töne teilen, was dazu führt, dass das Dreieck entlang einer seiner drei Kanten grafisch "umgedreht" wird. Dies würde zum Beispiel bedeuten, dass der C-Dur-Akkord gleich nahe an c-Moll, e-Moll und a-Moll liegt (ein einziger Schlag verwandelt immer ein Dur in ein Moll und umgekehrt ). In der Neo-Riemannschen Theorie, diese Arten von Transformationen werden sogar benannt: Parallel (P), Leading Tone (L) und Relative (R). Es gibt komplexere Transformationen zwischen Akkorden, die nur einen einzigen gemeinsamen Ton enthalten. Wenn Sie die 7. der Einfachheit halber ignorieren, würde diese Metrik Ihrer Progression die folgenden Abstände geben: 1, 2, 2, 2. Diese Metrik ist weniger durch die Tonalität eingeschränkt und konzentriert sich mehr auf die Stimmführung. Es kann die "Nähe" von Akkorden wie C und A ♭ leichter erklären, die traditionell weit entfernt wären. Als solches ist es eher für romantische Musik geeignet, wo diese traditionell fernen Progressionen häufiger vorkommen. Diese Metrik berücksichtigt auch von Natur aus verschiedene Akkordtypen.

Es gibt eine noch komplexere Metrik, die von Dmitri Tymoczko in A Geometry of Music entwickelt wurde und n-dimensionale Orbifolds beinhaltet, aber ich kann nicht behaupten, damit sehr vertraut zu sein. Es ist gut geeignet, um die Musik zu vergessen und sich auf mathematische Abstraktionen zu konzentrieren.

Um meinen Mathematikerhut aufzusetzen, der Begriff der Entfernung hängt von vielen Faktoren ab. Die eigentliche Frage ist, wonach Sie suchen, wenn Sie Distanz sagen. Meinen Sie damit, dass Sie nach harmonischer Ähnlichkeit suchen? Meinen Sie eine Art Maß für auditive Ähnlichkeit? Meinst du, wie sie sich auf den Quintenzirkel beziehen?

Das Konstrukt einer euklidischen Distanz ist nicht wirklich relevant, da es eine physikalische Distanz messen soll. Gruppentheoretische Argumente sollen über Beziehungen zwischen Akkordfolgen sprechen, basieren jedoch auf einer Netzwerk- oder Gitterstruktur. Wenn wir Gitter verwenden, haben wir viele verschiedene Abstandsmaße, von denen jedes eine Bedeutung hat, die für das untersuchte Netzwerk relevant ist.

Wir könnten uns auch das Konstrukt der zeitlichen Ähnlichkeit ansehen. Hier schreiben wir jeden Akkord in Bezug auf seine mathematische Form (Sinuswellen usw.) und betrachten dann die Abstände zwischen den Signalen im Laufe der Zeit. Letztendlich muss die Verwendung des Begriffs Entfernung also genauer definiert werden, bevor wir die Frage wirklich beantworten können.

Dies ist ein großer Teil der Stimmführung, insbesondere dort, wo Sie nach gemeinsamen Tönen zwischen Akkorden in der Harmonie suchen und wie Sie sie beim Übergang zwischen ihnen nutzen können.

Es ist nicht wirklich eine Formel, sondern nur eine Einschätzung, wie verwandt die beiden Akkorde sind. Die Grundidee besteht darin, nur zu schauen, welche Noten gemeinsam sind und ob sich die Noten um wie viel bewegen.

In Ihrem Beispiel hat C mit den Noten C-E-Gund A7 mit den Noten A-C#-E-Gzwei gemeinsame Töne und ist verwandt. Wenn Sie diese Akkorde im 4-stimmigen Chorstil aussprechen, sehen Sie möglicherweise die beiden Akkorde wie folgt:

Wie Sie sehen können, bewegen sich 2 der Noten nicht. Eine Note, in diesem Fall der Tenor, bewegt sich chromatisch nach oben, was sehr wenig Bewegung ist, und die andere, die sich bewegt, ist die Bassnote um die 3., die etwas weiter entfernt ist. Sie sollten jedoch beachten, dass in der Basslinie normalerweise mehr Bewegung vorhanden ist.

Wie ich schon sagte, es ist keine Formel, aber es ist eine sehr gute Methode, um einzuschätzen, wovon Sie sprechen.

Es gibt andere Möglichkeiten, harmonische "Entfernung" zu definieren. Beispielsweise könnte man das 5-Grenzen-Gitter als „Landkarte“ verwenden, auf der sich die harmonische Landschaft durch Quinten (WE) und Terzen (NS) entfaltet. Dann könnten wir die Akkordfolge verfolgen, während sie sich buchstäblich auf der Karte bewegt.

Das einzige Problem ist das des ii-Akkords, der eine doppelte Funktion erfüllt und uns tatsächlich im Handumdrehen über die Karte transportiert (von der Subdominante „Westen“ zur Dominante „Osten“). (Siehe zum Beispiel „ Harmonic Experience “ von WA Mathieu.)

Eine andere, wenn auch eng verwandte Möglichkeit, die Entfernung anzuzeigen, ist die Verwendung der neo-riemannschen Theorie und des Tonnetzes . Dann könnte der Abstand auf die gleiche Weise verfolgt und vielleicht als die Anzahl der Transformationen definiert werden, die erforderlich sind, um von einem Akkord zum nächsten zu gelangen.

Im Fall von C -> A bräuchten wir zwei Transformationen: R und P.

Einige wissenschaftliche Artikel diskutieren genau diese Frage; Ich fasse hier zwei zusammen.

In "Square Dances with Cubes" von Richard Cohn diskutiert der Autor, was er "gerichtete stimmführende Summen" (oder "DVLS") nennt. Um die DVLS zwischen zwei Akkorden zu finden, addiert man einfach die Tonigkeiten des ersten Akkords (Mod 12), die Tonigkeiten des zweiten Akkords (ebenfalls Mod 12) und subtrahiert die erste Summe von der zweiten.

Zum Beispiel haben wir von C-Dur nach G-Dur C E G({0 4 7}, was zu 11 addiert) zu G B D({7 11 2}, was zu 20 addiert, oder 8 mod 12). Dann subtrahieren wir 11 von 8, was -3 oder 9 mod 12 ist; die gerichtete stimmführende Summe von C-Dur nach G-Dur ist also 9. Das ist erwartungsgemäß ein größerer Abstand als etwa von C-Dur (11) nach D-Dur (5), das einen DVLS von 6 hat.

In einem ähnlichen Artikel von Seth Monahan mit dem Titel "Voice-Leading Energetics in Wagner's 'Tristan Idiom'" spricht der Autor über "Kinetic Displacement metrics" oder "KDMs". Was hier wichtig ist (und was sich von Cohns DVLS unterscheidet), ist, dass Monahan auch die Richtung misst.

Gehen wir zurück zu dem Beispiel, wo C-Dur nach G-Dur wechselt. In diesem Fall können wir verstehen, dass es zwischen den beiden Akkorden einen gemeinsamen Ton G gibt (also eine Bewegung von 0 Halbtonschritten); die anderen Stimmen bewegen sich von C nach B und von E nach D. Da C nach B einen Halbton tiefer ist (-1) und E nach D einen Ganzton tiefer ist (-2 Halbschritte), addieren wir diese Abstände zusammen, um zu sehen dass diese Progression einen KDM von -3 hat. Wie bei Cohns DVLS deutet ein größerer Absolutwert auf einen größeren Abstand zwischen zwei Akkorden hin.

Allen, die sich für die kognitiven Realitäten dieser Distanzen interessieren, empfehle ich „Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the Psychological Reality of Neo-Riemannian Transformations“ von Carol Krumhansl.